Pastovus skaičius A paskambino riba sekos(x n ), jei bet kuriam savavališkai mažam teigiamam skaičiuiε > 0 yra skaičius N, kuris turi visas reikšmes x n, kurių n>N, tenkina nelygybę
|x n - a|< ε. (6.1)
Užrašykite jį taip: arba x n → a.
Nelygybė (6.1) lygi dvigubai nelygybei
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
o tai reiškia, kad taškai x n, pradedant nuo kažkokio skaičiaus n>N, yra intervalo (a-ε, a+ ε ), t.y. patenka į bet kokį mažąε - taško kaimynystė A.
Vadinama seka, turinti ribą susiliejantis, kitaip - skiriasi.
Funkcijos ribos sąvoka yra sekos ribos sampratos apibendrinimas, nes sekos riba gali būti laikoma sveikojo skaičiaus argumento funkcijos x n = f(n) riba. n.
Tegu duota funkcija f(x) ir tegul a - ribinis taškasšios funkcijos apibrėžimo sritis D(f), t.y. toks taškas, kurio bet kurioje kaimynystėje yra aibės D(f) taškai, išskyrus a. Taškas a gali priklausyti arba nepriklausyti aibei D(f).
1 apibrėžimas.Vadinamas pastovus skaičius A riba funkcijas f(x) adresu x →a, jei bet kuriai argumentų reikšmių sekai (x n ) linkusi A, atitinkamos sekos (f(x n)) turi tą pačią ribą A.
Šis apibrėžimas vadinamas apibrėžiant funkcijos ribą pagal Heine, arba " sekos kalba”.
2 apibrėžimas. Vadinamas pastovus skaičius A riba funkcijas f(x) adresu x →a, jei, nurodant savavališkai savavališkai mažą teigiamą skaičių ε, galima rasti tokį δ>0 (priklausomai nuo ε), kuris skirtas visiems x, guliε-skaičiaus apylinkės A, t.y. Dėl x, tenkinantis nelygybę
0 <
x-a< ε
, funkcijos f(x) reikšmės busε-skaičiaus A kaimynystė, t.y.|f(x)-A|<
ε.
Šis apibrėžimas vadinamas apibrėžiant funkcijos ribą pagal Koši, arba „kalboje ε - δ “.
1 ir 2 apibrėžimai yra lygiaverčiai. Jei funkcija f(x) kaip x →a turi riba, lygus A, tai parašyta forma
. (6.3)
Tuo atveju, jei seka (f(x n)) didėja (arba mažėja) be jokių aproksimavimo metodų apribojimų x iki jūsų ribos A, tada sakysime, kad funkcija f(x) turi begalinė riba, ir parašykite į formą:
Iškviečiamas kintamasis (t.y. seka arba funkcija), kurio riba lygi nuliui be galo mažas.
Vadinamas kintamasis, kurio riba lygi begalybei be galo didelis.
Norint praktiškai rasti ribą, naudojamos šios teoremos.
1 teorema . Jei yra kiekviena riba
(6.4)
(6.5)
(6.6)
komentuoti. Tokios išraiškos kaip 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - yra neapibrėžti, pavyzdžiui, dviejų be galo mažų arba be galo didelių kiekių santykis, o tokio tipo ribos nustatymas vadinamas „neapibrėžtumų atskleidimu“.
2 teorema. (6.7)
tie. galima pasiekti ribą, pagrįstą galia su pastoviu eksponentu, ypač 
;
(6.8)
(6.9)
3 teorema.
(6.10)
(6.11)
Kur e » 2,7 - natūraliojo logaritmo bazė. Formulės (6.10) ir (6.11) vadinamos pirmąja nuostabi riba ir antroji nepaprasta riba.
(6.11) formulės pasekmės taip pat naudojamos praktikoje:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
ypač riba,
Jei x → a ir tuo pačiu metu x > a, tada parašykite x→a + 0. Jei konkrečiai a = 0, tai vietoj simbolio 0+0 parašykite +0. Panašiai, jei x→a ir tuo pačiu x 
ir atitinkamai vadinami teisinga riba Ir kairioji riba funkcijas f(x) taške A. Kad būtų funkcijos f(x) riba kaip x→a yra būtinas ir pakankamas, kad 
. Iškviečiama funkcija f(x). tęstinis taške x 0, jei riba
. (6.15)
Sąlyga (6.15) gali būti perrašyta taip:
,
tai yra, perėjimas į ribą pagal funkcijos ženklą yra įmanomas, jei jis yra tęstinis tam tikrame taške.
Jei lygybė (6.15) pažeidžiama, tai ir sakome adresu x = x o funkcija f(x) Tai turi tarpas Apsvarstykite funkciją y = 1/x. Šios funkcijos apibrėžimo sritis yra aibė R, išskyrus x = 0. Taškas x = 0 yra aibės D(f) ribinis taškas, nes bet kurioje jos kaimynystėje, t.y. bet kuriame atvirame intervale, kuriame yra taškas 0, yra taškų iš D(f), bet jis pats nepriklauso šiai aibei. Reikšmė f(x o)= f(0) yra neapibrėžta, todėl taške x o = 0 funkcija turi netolydumą.
Iškviečiama funkcija f(x). ištisinis dešinėje taške x o jei riba
,
Ir ištisinis kairėje taške x o, jei riba
.
Funkcijos tęstinumas taške xo yra lygiavertis jo tęstinumui šioje vietoje tiek dešinėje, tiek kairėje.
Kad funkcija taške būtų tęstinė xo, pavyzdžiui, dešinėje, pirma, būtina, kad būtų baigtinė riba, ir, antra, kad ši riba būtų lygi f(x o). Todėl, jei neįvykdoma bent viena iš šių dviejų sąlygų, funkcija nepertraukiama.
1. Jei riba egzistuoja ir nėra lygi f(x o), tai jie taip sako funkcija f(x) taške x o turi pirmos rūšies pertrauka, arba šuolis.
2. Jei riba yra+∞ arba -∞ arba neegzistuoja, tada jie sako, kad in tašką xo funkcija turi pertrūkį antra rūšis.
Pavyzdžiui, funkcija y = cot x ties x→ +0 turi ribą, lygią +∞, o tai reiškia, kad taške x=0 jis turi antrojo tipo pertrūkį. Funkcija y = E(x) (sveikasis skaičius x) taškuose, kuriuose yra visos abscisės, yra pirmos rūšies nutrūkimų arba šuolių.
Funkcija, kuri yra ištisinė kiekviename intervalo taške, vadinama tęstinis V . Ištisinė funkcija pavaizduota vientisa kreive.
Daugelis problemų, susijusių su nuolatiniu tam tikro kiekio augimu, veda prie antrosios nepaprastos ribos. Tokie uždaviniai, pavyzdžiui, apima: indėlių augimą pagal sudėtinių palūkanų dėsnį, šalies gyventojų skaičiaus augimą, radioaktyviųjų medžiagų irimą, bakterijų dauginimąsi ir kt.
Pasvarstykime Ya I. Perelman pavyzdys, pateikiant skaičiaus interpretaciją e sudėtinių palūkanų problema. Skaičius e yra riba 
. Taupomosiose kasose prie pagrindinio kapitalo kasmet pridedami palūkanų pinigai. Jei prisijungiama dažniau, kapitalas auga greičiau, nes formuojant palūkanas įtraukiama didesnė suma. Paimkime grynai teorinį, labai supaprastintą pavyzdį. Tegul įneša į banką 100 denų. vienetų remiantis 100% per metus. Jei palūkanų pinigai prie pagrindinio kapitalo pridedami tik po metų, tai iki šio laikotarpio 100 den. vienetų pavirs į 200 piniginių vienetų. Dabar pažiūrėkime, į ką pavirs 100 neigimų. vienetų, jei kas šešis mėnesius prie pagrindinio kapitalo pridedami palūkanų pinigai. Po šešių mėnesių 100 den. vienetų išaugs iki 100×
1,5 = 150, o dar po šešių mėnesių - 150×
1,5 = 225 (den. vienetai). Jeigu prisijungiama kas 1/3 metų, tai po metų 100 den. vienetų pavirs į 100× (1 +1/3) 3 colių 237 (den. vnt.). Palūkanų pinigų pridėjimo terminus padidinsime iki 0,1 metų, 0,01 metų, 0,001 metų ir kt. Tada iš 100 den. vienetų po metų bus:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. vienetai),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. vienetai),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. vienetai).
Neribotai sumažinus palūkanų pridėjimo terminus, sukauptas kapitalas neauga neribotą laiką, o artėja prie tam tikros ribos, lygios maždaug 271. 100% per metus deponuojamas kapitalas negali padidėti daugiau nei 2,71 karto, net jei sukauptos palūkanos buvo pridedami prie sostinės kas sekundę, nes limitas
3.1 pavyzdys.Naudodamiesi skaičių sekos ribos apibrėžimu, įrodykite, kad sekos x n =(n-1)/n riba yra lygi 1.
Sprendimas.Turime tai įrodyti, nesvarbuε > 0, kad ir ką imtume, jam yra natūralusis skaičius N, kad visiems n N galioja nelygybė|x n -1|< ε.
Paimkime bet kurį e > 0. Kadangi ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tada norint rasti N pakanka išspręsti nelygybę 1/n< e. Taigi n>1/ e ir todėl N gali būti priimta kaip sveikoji 1/ dalis e , N = E(1/ e ). Taip įrodėme, kad riba .
3 pavyzdys.2
. Raskite sekos ribą, nurodytą bendruoju terminu 
.
Sprendimas.Taikykime sumos teoremos ribą ir raskime kiekvieno nario ribą. Kai n→ ∞ kiekvieno nario skaitiklis ir vardiklis yra linkę į begalybę, ir mes negalime tiesiogiai taikyti koeficiento ribos teoremos. Todėl pirmiausia transformuojame x n, padalijus pirmojo nario skaitiklį ir vardiklį iš n 2, o antrasis įjungtas n. Tada, taikydami koeficiento ribą ir sumos teoremos ribą, randame:
.
3.3 pavyzdys. . Rasti.
Sprendimas. 
.
Čia panaudojome laipsnio ribos teoremą: laipsnio riba lygi pagrindo ribos laipsniui.
3 pavyzdys.4
. Rasti ( 
).
Sprendimas.Neįmanoma taikyti skirtumo ribos teoremos, nes turime formos neapibrėžtį ∞-∞ . Transformuokime bendrojo termino formulę:
.
3 pavyzdys.5 . Pateikta funkcija f(x)=2 1/x. Įrodykite, kad nėra ribų.
Sprendimas.Naudokime funkcijos ribos apibrėžimą 1 per seką. Paimkime seką ( x n ), konverguojančią į 0, t.y. Parodykime, kad reikšmė f(x n)= skirtingoms sekoms elgiasi skirtingai. Tegu x n = 1/n. Aišku, tada riba 
Dabar pasirinkime kaip x n seka su bendru terminu x n = -1/n, taip pat linkusi į nulį. 
Todėl ribų nėra.
3 pavyzdys.6 . Įrodykite, kad nėra ribų.
Sprendimas.Tegu x 1 , x 2 ,..., x n ,... yra seka, kuriai
. Kaip seka (f(x n)) = (sin x n) veikia skirtingais x n → ∞
Jei x n = p n, tai sin x n = sin p n = 0 visiems n ir riba Jei
x n =2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 visiems n ir todėl riba. Taigi jis neegzistuoja.
Valdiklis limitams skaičiuoti internete
Viršutiniame lange vietoj sin(x)/x įveskite funkciją, kurios ribą norite rasti. Apatiniame lange įveskite skaičių, į kurį linksta x, ir spustelėkite mygtuką Skaičiuoti, gaukite norimą ribą. Ir jei rezultatų lange viršutiniame dešiniajame kampe spustelėsite Rodyti veiksmus, gausite išsamų sprendimą.
Funkcijų įvedimo taisyklės: sqrt(x) – kvadratinė šaknis, cbrt(x) – kubo šaknis, exp(x) – eksponentas, ln(x) – natūralusis logaritmas, sin(x) – sinusas, cos(x) – kosinusas, tan (x) – liestinė, cot(x) – kotangentas, arcsin(x) – arcsinusas, arccos(x) – arkosinas, arctan(x) – arctangentas. Ženklai: * daugyba, / dalyba, ^ eksponencija, vietoj begalybė Begalybė. Pavyzdys: funkcija įvedama kaip sqrt(tan(x/2)).
Ribos visiems matematikos mokiniams kelia daug rūpesčių. Norint išspręsti ribą, kartais tenka panaudoti daugybę gudrybių ir iš daugybės sprendimo būdų pasirinkti būtent tą, kuris tinka konkrečiam pavyzdžiui.
Šiame straipsnyje mes nepadėsime suprasti savo galimybių ribų ar suvokti valdymo ribas, bet pabandysime atsakyti į klausimą: kaip suprasti ribas aukštojoje matematikoje? Supratimas ateina su patirtimi, todėl tuo pačiu pateiksime keletą detalių ribų sprendimo pavyzdžių su paaiškinimais.
Ribos samprata matematikoje
Pirmas klausimas: kas yra ši riba ir kokia riba? Galime kalbėti apie skaitinių sekų ir funkcijų ribas. Mus domina funkcijos ribos samprata, nes su ja dažniausiai susiduria studentai. Bet pirmiausia bendriausias ribos apibrėžimas:
Tarkime, kad yra tam tikra kintamoji reikšmė. Jei ši vertė kaitos procese neribotai artėja prie tam tikro skaičiaus a , Tai a – šios vertės riba.
Tam tikrame intervale apibrėžtai funkcijai f(x)=y toks skaičius vadinamas limitu A , kurią funkcija linkusi kada X , linkę į tam tikrą tašką A . Taškas A priklauso intervalui, kuriame apibrėžiama funkcija.
Tai skamba sudėtingai, bet parašyta labai paprastai:
Lim- iš anglų kalbos riba- riba.
Taip pat yra geometrinis ribos nustatymo paaiškinimas, tačiau čia nesigilinsime į teoriją, nes mus labiau domina praktinė, o ne teorinė klausimo pusė. Kai mes tai sakome X linkęs į kokią nors reikšmę, tai reiškia, kad kintamasis neįgyja skaičiaus reikšmės, o artėja prie jo be galo arti.
Pateiksime konkretų pavyzdį. Užduotis – rasti ribą.
Norėdami išspręsti šį pavyzdį, pakeičiame vertę x=3 į funkciją. Mes gauname:
Beje, jei jus domina, perskaitykite atskirą straipsnį šia tema.
Pavyzdžiuose X gali turėti bet kokią vertę. Tai gali būti bet koks skaičius arba begalybė. Štai pavyzdys, kai X linkęs į begalybę:
Intuityviai suprantama, kad kuo didesnis skaičius vardiklyje, tuo mažesnė reikšmė bus funkcija. Taigi, su neribotu augimu X prasmė 1/x sumažės ir priartės prie nulio.
Kaip matote, norint išspręsti ribą, tereikia į funkciją pakeisti reikšmę, kurios reikia siekti X . Tačiau tai yra paprasčiausias atvejis. Dažnai rasti ribą nėra taip akivaizdu. Ribose yra tipo neapibrėžtumo 0/0 arba begalybė / begalybė . Ką daryti tokiais atvejais? Naudokite triukus!
Neaiškumai viduje
Formos begalybė/begalybė neapibrėžtumas
Tegul yra riba:
Jei bandysime į funkciją pakeisti begalybę, gausime begalybę ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Apskritai verta pasakyti, kad sprendžiant tokius neapibrėžtumus yra tam tikras meno elementas: reikia pastebėti, kaip galite pakeisti funkciją taip, kad neapibrėžtumas išnyktų. Mūsų atveju skaitiklį ir vardiklį padalijame iš X vyresnysis laipsnis. Kas nutiks?
Iš jau aptarto pavyzdžio žinome, kad terminai, kurių vardiklyje yra x, bus linkę į nulį. Tada ribos sprendimas yra:
Norėdami išspręsti tipo neapibrėžtumus begalybė / begalybė skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš X iki aukščiausio laipsnio.
Beje!
Mūsų skaitytojams dabar taikoma 10% nuolaida
Kitas neapibrėžtumo tipas: 0/0 Kaip visada, pakeičiant reikšmes į funkciją x=-1 0 duoda
skaitiklyje ir vardiklyje. Pažvelkite šiek tiek atidžiau ir pastebėsite, kad skaitiklyje yra kvadratinė lygtis. Raskime šaknis ir parašykime:
Sumažinkime ir gaukime: 0/0 Taigi, jei susiduriate su tipo netikrumu
– koeficientas skaitiklis ir vardiklis.
Kad jums būtų lengviau spręsti pavyzdžius, pateikiame lentelę su kai kurių funkcijų ribomis:
L'Hopital taisyklė viduje
Kitas veiksmingas būdas pašalinti abiejų tipų neapibrėžtumą. Kokia metodo esmė?
Jei riboje yra neapibrėžtumo, imkite skaitiklio ir vardiklio išvestinę, kol neapibrėžtis išnyks.
L'Hopital taisyklė atrodo taip: Svarbus punktas
: riba, kurioje vietoj skaitiklio ir vardiklio turi būti skaitiklio ir vardiklio išvestiniai.
O dabar – tikras pavyzdys: 0/0 Yra tipiškas neapibrėžtumas
. Paimkime skaitiklio ir vardiklio išvestinius:
Voila, netikrumas išsprendžiamas greitai ir elegantiškai.
Tikimės, kad šią informaciją galėsite naudingai pritaikyti praktikoje ir rasti atsakymą į klausimą „kaip išspręsti ribas aukštojoje matematikoje“. Jei jums reikia apskaičiuoti sekos ribą ar funkcijos ribą taške, bet šiam darbui visiškai nėra laiko, kreipkitės į profesionalų studentų servisą dėl greito ir išsamaus sprendimo. Šiandien klasėje apžvelgsime Ir griežta seka, taip pat išmokti spręsti aktualias teorinio pobūdžio problemas. Straipsnis pirmiausia skirtas gamtos mokslų ir inžinerinių specialybių pirmakursiams, pradėjusiems studijuoti matematinės analizės teoriją ir susidūrusiems su sunkumais suvokiant šią aukštosios matematikos skyrių. Be to, medžiaga yra gana prieinama aukštųjų mokyklų studentams.
Per svetainės gyvavimo metus gavau keliolika laiškų maždaug tokio turinio: „Nelabai suprantu matematinės analizės, ką daryti?“, „Visiškai nesuprantu matematikos, aš galvoju mesti studijas“ ir kt. Ir iš tiesų, būtent matanas dažnai išretina studentų grupę po pirmo užsiėmimo. Kodėl taip yra? Nes tema neįsivaizduojamai sudėtinga? Visai ne! Matematinės analizės teorija nėra tokia sudėtinga, kaip savotiška. Ir reikia priimti ir mylėti ją tokią, kokia ji yra =)
Pradėkime nuo sunkiausio atvejo. Pirmas ir svarbiausias dalykas yra tai, kad jums nereikėtų mesti studijų. Suprask teisingai, visada gali mesti;-) Aišku, jei po metų ar dvejų pykina nuo pasirinktos specialybės, tai taip, reiktų pagalvoti (ir nepyk!) apie veiklos pasikeitimą. Bet kol kas verta tęsti. Ir prašau pamiršti frazę „aš nieko nesuprantu“ – taip neatsitinka, kad VISAI nieko nesupranti.
Ką daryti, jei teorija bloga? Tai, beje, taikoma ne tik matematinei analizei. Jei teorija bloga, tai pirmiausia reikia RIMTAI susikoncentruoti į praktiką. Šiuo atveju iš karto išsprendžiamos dvi strateginės užduotys:
– Pirma, nemaža dalis teorinių žinių atsirado per praktiką. Ir todėl daugelis žmonių teoriją supranta per... – tai tiesa! Ne, ne, tu apie tai negalvoji =)
– Ir, antra, praktiniai įgūdžiai greičiausiai „ištrauks“ per egzaminą, net jei... bet taip nesijaudinkime! Viskas yra tikra ir viską galima „pakelti“ per gana trumpą laiką. Matematinė analizė yra mano mėgstamiausia aukštosios matematikos dalis, todėl aš tiesiog negalėjau ištiesti jums pagalbos rankos:
1 semestro pradžioje dažniausiai aprėpiamos sekos ribos ir funkcijų ribos. Nesuprantate, kas tai yra, ir nežinote, kaip jas išspręsti? Pradėkite nuo straipsnio Funkcijų ribos, kuriame „ant pirštų“ nagrinėjama pati sąvoka ir analizuojami paprasčiausi pavyzdžiai. Tada atlikite kitas pamokas šia tema, įskaitant pamoką apie sekų viduje, dėl kurio aš iš tikrųjų jau suformulavau griežtą apibrėžimą.
Kokius simbolius, be nelygybės ženklų ir modulio, žinote?
– ilga vertikali lazda skamba taip: „toks“, „toks“, „toks“ arba „toks“, mūsų atveju, aišku, mes kalbame apie skaičių - vadinasi, „toks tas“;
– visiems „en“ didesnis nei ;
– modulio ženklas reiškia atstumą, t.y. šis įrašas mums sako, kad atstumas tarp reikšmių yra mažesnis nei epsilonas.
Na, ar tai mirtinai sunku? =)
Įvaldęs praktiką, laukiu jūsų kitoje pastraipoje:
Ir iš tikrųjų, šiek tiek pagalvokime – kaip suformuluoti griežtą sekos apibrėžimą? ...Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą pasaulyje praktinė pamoka: „Sekos riba yra skaičius, prie kurio be galo artėja sekos nariai“.
Gerai, užsirašykime seka :
Nesunku tai suprasti seka 
priartėti prie be galo arti skaičiaus –1, ir lyginiai terminai 
– į „vieną“.
O gal yra dvi ribos? Bet kodėl tada jokia seka negali turėti dešimties ar dvidešimties? Tokiu būdu galite nueiti toli. Šiuo atžvilgiu logiška manyti, kad jei seka turi ribą, tada ji yra vienintelė.
Pastaba : seka neturi ribos, tačiau iš jos galima atskirti dvi posekes (žr. aukščiau), kurių kiekviena turi savo ribą.
Taigi pirmiau pateiktas apibrėžimas pasirodo esąs nepagrįstas. Taip, tai veikia tokiais atvejais kaip (kurį ne visai teisingai panaudojau supaprastintuose praktinių pavyzdžių paaiškinimuose), bet dabar turime rasti griežtą apibrėžimą.
Antras bandymas: „Sekos riba yra skaičius, prie kurio artėja VISI sekos nariai, išskyrus galbūt juos galutinis kiekiai." Tai arčiau tiesos, bet vis tiek nėra visiškai tikslu. Taigi, pavyzdžiui, seka 
pusė terminų visai nesiartina prie nulio - jie tiesiog jam lygūs =) Beje, „mirksi šviesa“ paprastai turi dvi fiksuotas reikšmes.
Išaiškinti formuluotę nesunku, bet tada iškyla kitas klausimas: kaip parašyti apibrėžimą matematiniais simboliais? Mokslo pasaulis su šia problema kovojo ilgą laiką, kol situacija buvo išspręsta garsus maestro, kuri iš esmės formalizavo klasikinę matematinę analizę visu jos griežtumu. Cauchy pasiūlė operaciją aplinka , kuris žymiai patobulino teoriją.
Apsvarstykite kai kuriuos dalykus ir jo savavališkas- aplinka:
„Epsilon“ vertė visada yra teigiama, be to, turime teisę patys pasirinkti. Tarkime, kad šioje kaimynystėje yra daug narių (nebūtinai visi) tam tikra seka. Kaip užrašyti tai, kad, pavyzdžiui, dešimtas terminas yra kaimynystėje? Tegul jis yra dešinėje jo pusėje. Tada atstumas tarp taškų ir turėtų būti mažesnis nei „epsilonas“: . Tačiau jei „x dešimtoji“ yra taško „a“ kairėje, skirtumas bus neigiamas, todėl prie jo reikia pridėti ženklą modulis: .
Apibrėžimas: skaičius vadinamas sekos riba, jei bet kuriam jos apylinkes (iš anksto pasirinkta) yra natūralusis skaičius TOKS VISI didesnius skaičius turintys sekos nariai bus kaimynystėje:
Arba trumpai: jei
Kitaip tariant, kad ir kokią mažą „epsilono“ reikšmę imtume, anksčiau ar vėliau sekos „begalinė uodega“ VISIŠKAI atsidurs šioje kaimynystėje.
Pavyzdžiui, sekos „begalinė uodega“. VISIŠKAI pateks į bet kurią savavališkai mažą taško apylinkę. Taigi ši reikšmė yra sekos riba pagal apibrėžimą. Leiskite jums priminti, kad vadinama seka, kurios riba lygi nuliui be galo mažas.
Reikėtų pažymėti, kad dėl sekos nebegalima sakyti „begalinė uodega“ įeis„- nariai su nelyginiais skaičiais iš tikrųjų yra lygūs nuliui ir „niekur neiti“ =) Štai kodėl apibrėžime naudojamas veiksmažodis „pasirodys“. Ir, žinoma, tokios sekos nariai taip pat „niekur nedingsta“. Beje, patikrinkite, ar skaičius yra jo riba.
Dabar parodysime, kad seka neturi ribų. Apsvarstykite, pavyzdžiui, taško kaimynystę. Visiškai aišku, kad nėra tokio skaičiaus, po kurio VISI terminai atsidurs tam tikroje kaimynystėje – nelyginiai terminai visada „iššoks“ į „minus vienas“. Dėl panašios priežasties taške nėra ribų.
Sutvirtinkime medžiagą praktika:
1 pavyzdys
Įrodykite, kad sekos riba lygi nuliui. Nurodykite skaičių, po kurio garantuojama, kad visi sekos nariai bus bet kurioje savavališkai mažoje taško kaimynystėje.
Pastaba : Daugeliui sekų reikalingas natūralusis skaičius priklauso nuo reikšmės – taigi ir žymėjimas .
Sprendimas: apsvarstykite savavališkas ar yra koks skaičius – toks, kad VISI nariai, turintys didesnį skaičių, būtų šioje kaimynystėje:
Norėdami parodyti reikiamo skaičiaus egzistavimą, išreiškiame jį per .
Kadangi bet kuriai „en“ vertei modulio ženklas gali būti pašalintas:
Mes naudojame „mokyklinius“ veiksmus su nelygybėmis, kuriuos kartojau klasėje Tiesinės nelygybės Ir Funkcijos domenas. Šiuo atveju svarbi aplinkybė yra ta, kad „epsilon“ ir „en“ yra teigiami:
Kadangi mes kalbame apie natūraliuosius skaičius kairėje, o dešinioji pusė paprastai yra trupmeninė, ją reikia suapvalinti:
Pastaba : kartais prie teisės pridedamas vienetas, kad būtų saugi, bet iš tikrųjų tai per daug. Santykinai kalbant, jei susilpninsime rezultatą apvalindami žemyn, artimiausias tinkamas skaičius („trys“) vis tiek patenkins pradinę nelygybę.
Dabar žiūrime į nelygybę ir prisimename, ką iš pradžių svarstėme savavališkas-kaimynystė, t.y. „epsilon“ gali būti lygus bet kas teigiamas skaičius.
Išvada: bet kurio savavališkai mažo taško kaimynystėje vertė buvo rasta 
. Taigi skaičius pagal apibrėžimą yra sekos riba. Q.E.D.
Beje, iš gauto rezultato 
aiškiai matomas natūralus modelis: kuo mažesnė kaimynystė, tuo didesnis skaičius, po kurio VISIE sekos nariai bus šioje kaimynystėje. Bet kad ir koks mažas būtų „epsilonas“, viduje visada bus „begalinė uodega“, o išorėje – net jei ji didelė, tačiau galutinis narių skaičius.
Kokie įspūdžiai? =) Sutinku, kad tai šiek tiek keista. Bet griežtai! Perskaitykite dar kartą ir dar kartą viską pagalvokite.
Pažvelkime į panašų pavyzdį ir susipažinkime su kitais techniniais metodais:
2 pavyzdys
Sprendimas: pagal sekos apibrėžimą būtina tai įrodyti (Pasakyk tai garsiai!!!).
Pasvarstykime savavališkas- punkto ir čekio kaimynystė, ar jis egzistuoja natūralusis skaičius – toks, kad visiems didesniems skaičiams galiotų ši nelygybė: 
Norėdami parodyti tokio egzistavimą, turite išreikšti „en“ per „epsilon“. Supaprastiname išraišką po modulio ženklu: 
Modulis sunaikina minuso ženklą: 
Bet kurio „en“ vardiklis yra teigiamas, todėl lazdeles galima nuimti:
Maišyti: 
Dabar turime išgauti kvadratinę šaknį, bet svarbiausia yra tai, kad kai kuriems „epsilonams“ dešinė pusė bus neigiama. Norėdami išvengti šios bėdos sustiprinkime nelygybė pagal modulį: 
Kodėl tai galima padaryti? Jei, santykinai tariant, paaiškės, kad , tada sąlyga taip pat bus įvykdyta. Modulis gali tik padidinti norėjau numerio, ir mums tiks! Grubiai tariant, jei tinka šimtasis, tai tinka ir du šimtasis! Pagal apibrėžimą reikia parodyti pats skaičiaus egzistavimo faktas(bent jau kai kurie), po kurio visi sekos nariai bus kaimynystėje. Beje, dėl to mes nebijome galutinio dešinės pusės apvalinimo į viršų.
Šaknies ištraukimas: 
Ir suapvalinti rezultatą: 
Išvada: nes reikšmė "epsilon" buvo pasirinkta savavališkai, tada bet kuriai savavališkai mažai taško apylinkei buvo rasta reikšmė 
, kad visiems didesniems skaičiams galiotų nelygybė 
. Taigi, 
a-prior. Q.E.D.
as patariu ypač nelygybių stiprėjimo ir silpnėjimo supratimas yra tipiškas ir labai paplitęs matematinės analizės metodas. Vienintelis dalykas yra užtikrinti, kad tas ar kitas veiksmas būtų teisingas. Taigi, pavyzdžiui, nelygybė 
jokiomis aplinkybėmis tai neįmanoma atlaisvinti, atimant, tarkime, vieną: 
Vėlgi, sąlyginai: jei skaičius tinka tiksliai, tai ankstesnis gali nebetikti.
Šis nepriklausomo sprendimo pavyzdys:
3 pavyzdys
Naudodamiesi sekos apibrėžimu, įrodykite tai 
Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Jei seka be galo didelis, tada ribos apibrėžimas formuluojamas panašiai: taškas vadinamas sekos riba, jei kuriai nors, kokio dydžio norite skaičius, yra toks skaičius, kad visų didesnių skaičių nelygybė bus patenkinta. Skambina numeriu taško „plius begalybė“ kaimynystė:
Kitaip tariant, nesvarbu, kokią reikšmę imtume, sekos „begalinė uodega“ būtinai pateks į taško kaimynystę, o kairėje paliks tik baigtinį skaičių terminų.
Standartinis pavyzdys:
Ir sutrumpintas žymėjimas: , jei
Šiuo atveju apibrėžimą užsirašykite patys. Teisinga versija yra pamokos pabaigoje.
Kai išsiaiškinsite praktinius pavyzdžius ir išsiaiškinsite sekos ribos apibrėžimą, galite kreiptis į skaičiavimo literatūrą ir (arba) savo paskaitų sąsiuvinį. Rekomenduoju atsisiųsti Bohan 1 tomą (paprasčiau – neakivaizdiniams studentams) ir Fichtenholtzas (išsamiau ir išsamiau). Tarp kitų autorių rekomenduoju Piskunovą, kurio kursas skirtas technikos universitetams.
Stenkitės sąžiningai išstudijuoti teoremas, susijusias su sekos riba, jų įrodymais, pasekmėmis. Iš pradžių teorija gali atrodyti „drumsta“, tačiau tai normalu – tereikia prie jos priprasti. Ir daugelis net paragaus!
Griežtas funkcijos ribos apibrėžimas
Pradėkime nuo to paties – kaip suformuluoti šią sąvoką? Žodinis funkcijos ribos apibrėžimas suformuluotas daug paprasčiau: „skaičius yra funkcijos riba, jei su „x“ linkęs į (ir kairėje, ir dešinėje), atitinkamos funkcijos reikšmės linkusios » (žr. piešinį). Atrodo, kad viskas yra normalu, bet žodžiai yra žodžiai, prasmė yra prasmė, piktograma yra piktograma, o griežtų matematinių užrašų nėra pakankamai. O antroje pastraipoje susipažinsime su dviem šios problemos sprendimo būdais.
Tegul funkcija yra apibrėžta tam tikru intervalu, išskyrus tašką. Mokomojoje literatūroje visuotinai priimta, kad funkcija ten Ne apibrėžta: 
Šis pasirinkimas pabrėžia funkcijos ribos esmė: "x" be galo arti metodus, o atitinkamos funkcijos reikšmės yra be galo artiĮ . Kitaip tariant, ribos sąvoka nereiškia „tikslaus požiūrio“ į taškus, o būtent be galo artima aproksimacija
, nesvarbu, ar funkcija apibrėžta taške, ar ne.
Nenuostabu, kad pirmasis funkcijos ribos apibrėžimas suformuluotas naudojant dvi sekas. Pirma, sąvokos yra susijusios, ir, antra, funkcijų ribos dažniausiai tiriamos po sekų ribos. 
Apsvarstykite seką taškų(ne ant brėžinio) , priklausantis intervalui ir skiriasi nuo , kuris susilieja
Į . Tada atitinkamos funkcijos reikšmės taip pat sudaro skaitinę seką, kurios nariai yra ordinačių ašyje. bet kuriam Funkcijos riba pagal Heine 
taškų sekos(priklauso ir skiriasi nuo)
, kuris susilieja į tašką , atitinkama funkcijų reikšmių seka suartėja į .
Eduardas Heine yra vokiečių matematikas. ...Ir nereikia nieko panašaus galvoti, Europoje yra tik vienas gėjus - Gay-Lussac =) Buvo sukurtas antras ribos apibrėžimas... taip, taip, tu teisus. Bet pirmiausia supraskime jo dizainą. Apsvarstykite savavališką taško kaimynystę(„juodasis“ rajonas) . Remiantis ankstesne pastraipa, įrašas reiškia, kad kažkokia vertybė
funkcija yra „epsilon“ kaimynystėje. Dabar randame -apylinkę, kuri atitinka nurodytą -kaimynystę(protiškai nubrėžkite juodas punktyrines linijas iš kairės į dešinę ir iš viršaus į apačią) . Atminkite, kad pasirinkta vertė išilgai mažesnio segmento ilgio, šiuo atveju - išilgai trumpesnio kairiojo segmento ilgio. Be to, taško „avietinė“ kaimynystė gali būti netgi sumažinta, nes toliau pateiktame apibrėžime svarbus pats egzistavimo faktas
ši apylinkė. Be to, žymėjimas reiškia, kad tam tikra reikšmė yra „deltos“ kaimynystėje. Koši funkcijos riba bet kuriam : skaičius vadinamas funkcijos riba taške if iš anksto pasirinkta kaimynystėje, (tokio mažo, kiek norite) egzistuoja - taško kaimynystė, TOKS , kad: KAIP TIK vertybės(priklauso) įtraukta į šią sritį:– TAIGI IŠ KARTOJI atitinkamos funkcijų reikšmės pateks į kaimynystę: (mėlynos rodyklės).
Turiu jus perspėti, kad aiškumo dėlei aš šiek tiek improvizavau, todėl nenaudokite per daug =)
Trumpas įrašas: , jei
Kokia yra apibrėžimo esmė? Vaizdžiai tariant, be galo mažindami kaimynystę, „palydime“ funkcijų reikšmes iki jų ribos, nepalikdami joms alternatyvos priartėti kur nors kitur. Gana neįprasta, bet vėl griežta! Norėdami visiškai suprasti mintį, dar kartą perskaitykite formuluotę.
! Dėmesio: jei reikia tik suformuluoti Heine apibrėžimas arba tiesiog Koši apibrėžimas prašome nepamiršti reikšmingas preliminarūs komentarai: "Apsvarstykite funkciją, kuri yra apibrėžta tam tikru intervalu, išskyrus tašką". Kartą tai sakiau pačioje pradžioje ir nekartodavau kiekvieną kartą.
Pagal atitinkamą matematinės analizės teoremą Heine ir Cauchy apibrėžimai yra lygiaverčiai, tačiau antrasis variantas yra garsiausias (dar būtų!), kuris dar vadinamas „kalbos apribojimu“:
4 pavyzdys
Naudodamiesi ribos apibrėžimu, įrodykite tai 
Sprendimas: funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką. Naudodamiesi apibrėžimu, įrodome ribos egzistavimą tam tikrame taške.
Pastaba : „deltos“ kaimynystės vertė priklauso nuo „epsilono“, taigi ir pavadinimo
Pasvarstykime savavališkas- apylinkes. Užduotis yra naudoti šią reikšmę norint patikrinti, ar ar jis egzistuoja- aplinka, - taško kaimynystė,, kuri nuo nelygybės 
seka nelygybė 
.
Darant prielaidą, kad transformuojame paskutinę nelygybę: 
(išplėtė kvadratinį trinarį)
Matematika yra mokslas, kuris kuria pasaulį. Ir mokslininkas, ir paprastas žmogus – be to neapsieina niekas. Pirma, maži vaikai mokomi skaičiuoti, tada sudėti, atimti, dauginti ir dalyti pagal vidurinę mokyklą, atsiranda raidžių simboliai, o vidurinėje mokykloje jų nebegalima išvengti.
Tačiau šiandien kalbėsime apie tai, kuo remiasi visa žinoma matematika. Apie skaičių bendruomenę, vadinamą „sekos ribomis“.
Kas yra sekos ir kur yra jų riba?
Žodžio „seka“ reikšmę suprasti nėra sunku. Tai yra dalykų išdėstymas, kai kažkas ar kažkas yra tam tikroje eilėje ar eilėje. Pavyzdžiui, bilietų į zoologijos sodą eilė yra seka. Ir gali būti tik vienas! Jei, pavyzdžiui, žiūrite į eilę parduotuvėje, tai yra viena seka. Ir jei vienas žmogus iš šios eilės staiga išeina, tai yra kita eilė, kita tvarka.
Žodis „riba“ taip pat lengvai interpretuojamas – tai kažko pabaiga. Tačiau matematikoje sekų ribos yra tos skaičių eilutės reikšmės, į kurias linksta skaičių seka. Kodėl jis siekia ir nesibaigia? Tai paprasta, skaičių eilutė neturi pabaigos, o dauguma sekų, kaip ir spinduliai, turi tik pradžią ir atrodo taip:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Taigi sekos apibrėžimas yra natūralaus argumento funkcija. Paprasčiau tariant, tai yra tam tikro rinkinio narių serija.
Kaip sudaroma skaičių seka?
Paprastas skaičių sekos pavyzdys gali atrodyti taip: 1, 2, 3, 4, …n…
Daugeliu atvejų praktiniais tikslais sekos sudaromos iš skaičių, o kiekvienas kitas serijos narys, pažymėkime jį X, turi savo pavadinimą. Pavyzdžiui:
x 1 yra pirmasis sekos narys;
x 2 yra antrasis sekos narys;
x 3 yra trečiasis narys;
x n yra n-tasis narys.
Praktiniuose metoduose seka pateikiama bendra formule, kurioje yra tam tikras kintamasis. Pavyzdžiui:
X n =3n, tada pati skaičių serija atrodys taip:
Verta prisiminti, kad rašant sekas apskritai galima naudoti bet kokias lotyniškas raides, ne tik X. Pavyzdžiui: y, z, k ir t.t.
Aritmetinė progresija kaip sekų dalis
Prieš ieškant sekų ribų, patartina pasinerti į pačią tokios skaičių serijos sampratą, su kuria kiekvienas susidūrė mokydamasis vidurinėje mokykloje. Aritmetinė progresija yra skaičių serija, kurioje skirtumas tarp gretimų terminų yra pastovus.
Užduotis: „Tegul a 1 = 15, o skaičių serijos progreso žingsnis d = 4. Sukurkite pirmuosius 4 šios serijos terminus"
Sprendimas: a 1 = 15 (pagal sąlygą) yra pirmasis progresijos narys (skaičių serija).
ir 2 = 15+4=19 yra antrasis progresijos narys.
ir 3 =19+4=23 yra trečiasis narys.
ir 4 =23+4=27 yra ketvirtasis narys.
Tačiau naudojant šį metodą sunku pasiekti dideles vertes, pavyzdžiui, iki 125. . Ypač tokiems atvejams buvo išvesta praktikai patogi formulė: a n =a 1 +d(n-1). Šiuo atveju 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.
Sekų tipai
Dauguma sekų yra begalinės, verta prisiminti visą likusį gyvenimą. Yra du įdomūs skaičių serijų tipai. Pirmasis pateikiamas formule a n =(-1) n. Matematikai šią seką dažnai vadina blyksniu. Kodėl? Patikrinkime jo skaičių seriją.
1, 1, -1, 1, -1, 1 ir tt Iš tokio pavyzdžio tampa aišku, kad skaičiai sekose gali būti lengvai kartojami.
Faktorinė seka. Tai lengva atspėti – seką apibrėžiančioje formulėje yra faktorialas. Pavyzdžiui: a n = (n+1)!
Tada seka atrodys taip:
a 2 = 1x2x3 = 6;
ir 3 = 1x2x3x4 = 24 ir kt.
Aritmetine progresija apibrėžta seka vadinama be galo mažėjančia, jei nelygybė -1 tenkinama visoms jos sąlygoms ir 3 = - 1/8 ir kt. Yra net seka, susidedanti iš to paties skaičiaus. Taigi, n = 6 susideda iš begalinio skaičiaus šešių. Sekos ribos matematikoje egzistuoja jau seniai. Žinoma, jie nusipelno savo kompetentingo dizaino. Taigi laikas išmokti sekos ribų apibrėžimą. Pirma, išsamiai pažvelkime į tiesinės funkcijos ribą: Nesunku suprasti, kad sekos ribos apibrėžimą galima suformuluoti taip: tai tam tikras skaičius, prie kurio be galo artėja visi sekos nariai. Paprastas pavyzdys: a x = 4x+1. Tada pati seka atrodys taip. 5, 9, 13, 17, 21…x… Taigi ši seka didės neribotai, o tai reiškia, kad jos riba yra lygi begalybei kaip x→∞, ir ji turėtų būti parašyta taip: Jei imsime panašią seką, bet x linkę į 1, gausime: O skaičių serija bus tokia: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 ir tt Kiekvieną kartą reikia pakeisti skaičių arčiau vieneto (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Iš šios serijos aišku, kad funkcijos riba yra penki. Iš šios dalies verta prisiminti, kokia yra skaitinės sekos riba, apibrėžimas ir paprastų uždavinių sprendimo būdas. Išnagrinėję skaičių sekos ribą, jos apibrėžimą ir pavyzdžius, galite pereiti prie sudėtingesnės temos. Absoliučiai visas sekų ribas galima suformuluoti viena formule, kuri dažniausiai analizuojama pirmame semestre. Taigi, ką reiškia šis raidžių, modulių ir nelygybės ženklų rinkinys? ∀ yra universalus kvantorius, pakeičiantis frazes „visiems“, „viskam“ ir kt. ∃ yra egzistencinis kvantorius, šiuo atveju tai reiškia, kad natūraliųjų skaičių aibei yra kokia nors reikšmė N. Ilga vertikali lazdelė po N reiškia, kad duotoji aibė N yra „tokia“. Praktiškai tai gali reikšti „toks“, „toks“ ir pan. Norėdami sustiprinti medžiagą, garsiai perskaitykite formulę. Aukščiau aptartas sekų ribos nustatymo metodas, nors ir paprastas naudoti, praktiškai nėra toks racionalus. Pabandykite rasti šios funkcijos ribą: Jei pakeisime skirtingas „x“ reikšmes (kiekvieną kartą didinant: 10, 100, 1000 ir tt), tada skaitiklyje gauname ∞, bet vardiklyje ir ∞. Dėl to susidaro gana keista trupmena: Bet ar tikrai taip? Apskaičiuoti skaičių sekos ribą šiuo atveju atrodo gana paprasta. Galima būtų viską palikti taip, kaip yra, nes atsakymas yra paruoštas, o ir gautas protingomis sąlygomis, bet yra ir kitas būdas specialiai tokiems atvejams. Pirma, suraskime didžiausią trupmenos skaitiklio laipsnį - tai yra 1, nes x gali būti pavaizduotas kaip x 1. Dabar suraskime aukščiausią vardiklio laipsnį. Taip pat 1. Tiek skaitiklį, tiek vardiklį padalinkime iš kintamojo iki didžiausio laipsnio. Šiuo atveju trupmeną padalinkite iš x 1. Toliau išsiaiškinsime, kokią reikšmę turi kiekvienas terminas, turintis kintamąjį. Šiuo atveju atsižvelgiama į trupmenas. Kaip x→∞, kiekvienos trupmenos reikšmė linkusi į nulį. Pateikdami savo darbą raštu, turėtumėte padaryti šias išnašas: Dėl to gaunama tokia išraiška: Žinoma, trupmenos, kuriose yra x, netapo nuliais! Tačiau jų vertė yra tokia maža, kad visiškai leistina į tai neatsižvelgti atliekant skaičiavimus. Tiesą sakant, šiuo atveju x niekada nebus lygus 0, nes negalima dalyti iš nulio. Tarkime, kad profesorius turi sudėtingą seką, kurią, be abejo, pateikia tokia pat sudėtinga formulė. Profesorius rado atsakymą, bet ar jis teisingas? Juk visi žmonės klysta. Auguste'as Cauchy kartą sugalvojo puikų būdą įrodyti sekų ribas. Jo metodas buvo vadinamas kaimynystės manipuliacija. Tarkime, kad yra tam tikras taškas a, jo kaimynystė abiem kryptimis skaičių tiesėje yra lygi ε („epsilon“). Kadangi paskutinis kintamasis yra atstumas, jo reikšmė visada yra teigiama. Dabar apibrėžkime kokią nors seką x n ir tarkime, kad dešimtasis sekos narys (x 10) yra šalia a. Kaip mes galime parašyti šį faktą matematine kalba? Tarkime, kad x 10 yra taško a dešinėje, tada atstumas x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Dabar atėjo laikas praktiškai paaiškinti aukščiau aptartą formulę. Tikslinga tam tikrą skaičių a vadinti sekos pabaigos tašku, jei bet kuriai iš jos ribų nelygybė ε>0 tenkinama, o visa kaimynystė turi savo natūralųjį skaičių N, todėl visi sekos nariai su didesniais skaičiais. bus sekoje |x n - a|< ε. Turint tokias žinias, nesunku išspręsti sekos ribas, įrodyti ar paneigti jau paruoštą atsakymą. Teoremos apie sekų ribas yra svarbus teorijos komponentas, be kurio neįmanoma praktika. Yra tik keturios pagrindinės teoremos, kurias atsiminus, sprendimo ar įrodinėjimo procesas gali būti daug lengvesnis: Kartais reikia išspręsti atvirkštinę problemą, įrodyti tam tikrą skaičių sekos ribą. Pažiūrėkime į pavyzdį. Įrodykite, kad formule nurodytos sekos riba lygi nuliui. Pagal aukščiau aptartą taisyklę bet kuriai sekai nelygybė |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Išreikškime n per „epsilon“, kad parodytume tam tikro skaičiaus egzistavimą ir įrodytume sekos ribos buvimą. Šiuo metu svarbu atsiminti, kad „epsilon“ ir „en“ yra teigiami skaičiai ir nėra lygūs nuliui. Dabar galima tęsti tolimesnes transformacijas pasinaudojant vidurinėje mokykloje įgytomis žiniomis apie nelygybę. Kaip išeina, kad n > -3 + 1/ε. Kadangi verta prisiminti, kad kalbame apie natūraliuosius skaičius, rezultatą galima suapvalinti įdėjus jį laužtiniuose skliaustuose. Taigi buvo įrodyta, kad bet kuriai taško a = 0 „epsilono“ kaimynystės reikšmei buvo rasta tokia reikšmė, kuri tenkina pradinę nelygybę. Iš čia galime drąsiai teigti, kad skaičius a yra tam tikros sekos riba. Q.E.D. Šis patogus metodas gali būti naudojamas norint įrodyti skaitinės sekos ribą, kad ir kokia sudėtinga ji būtų iš pirmo žvilgsnio. Svarbiausia nepanikuoti matant užduotį. Konsistencijos ribos egzistavimas praktiškai nėra būtinas. Galite lengvai susidurti su skaičių serijomis, kurios iš tikrųjų neturi pabaigos. Pavyzdžiui, ta pati „mirksi lemputė“ x n = (-1) n. akivaizdu, kad seka, susidedanti tik iš dviejų skaitmenų, kartojama cikliškai, negali turėti ribos. Ta pati istorija kartojama su sekomis, susidedančiomis iš vieno skaičiaus, trupmeninių, turinčių bet kokios eilės neapibrėžtį skaičiuojant (0/0, ∞/∞, ∞/0 ir kt.). Tačiau reikia atsiminti, kad pasitaiko ir neteisingų skaičiavimų. Kartais dar kartą patikrinę savo sprendimą padėsite rasti sekos ribą. Keli sekų pavyzdžiai ir jų sprendimo būdai buvo aptarti aukščiau, o dabar pabandykime paimti konkretesnį atvejį ir pavadinti jį „monotonine seka“. Apibrėžimas: bet kurią seką galima teisingai vadinti monotoniškai didėjančia, jei jai galioja griežta nelygybė x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Kartu su šiomis dviem sąlygomis egzistuoja ir panašios negriežtos nelygybės. Atitinkamai, x n ≤ x n +1 (nemažėjanti seka) ir x n ≥ x n +1 (nedidėjanti seka). Bet tai lengviau suprasti naudojant pavyzdžius. Seka, pateikta formule x n = 2+n, sudaro tokią skaičių seką: 4, 5, 6 ir tt Tai monotoniškai didėjanti seka. Ir jei imsime x n =1/n, gausime seką: 1/3, ¼, 1/5 ir tt Tai monotoniškai mažėjanti seka. Apribota seka yra seka, kuri turi ribą. Konvergentinė seka yra skaičių serija, turinti be galo mažą ribą. Taigi apribotos sekos riba yra bet koks realusis arba kompleksinis skaičius. Atminkite, kad gali būti tik viena riba. Konvergencinės sekos riba yra be galo mažas (tikrasis arba kompleksinis) dydis. Jei nubraižote sekos diagramą, tam tikru momentu ji atrodys suartėjusi, linkusi virsti tam tikra verte. Iš čia ir kilo pavadinimas – konvergentinė seka. Tokia seka gali būti ribojama arba ne. Pirma, naudinga suprasti, kada ji egzistuoja, nuo čia galite pradėti įrodydami, kad nėra ribos. Tarp monotoninių sekų išskiriamos konvergentinės ir divergentinės. Konvergentinė yra seka, kurią sudaro aibė x ir kuri šioje aibėje turi realią arba kompleksinę ribą. Skirtinga yra seka, kurios aibėje nėra ribų (nei tikroji, nei sudėtinga). Be to, seka susilieja, jei geometrinėje vaizde jos viršutinė ir apatinė ribos susilieja. Konvergencinės sekos riba daugeliu atvejų gali būti lygi nuliui, nes bet kuri be galo maža seka turi žinomą ribą (nulis). Kad ir kokią konvergencinę seką imtumėte, jos visos yra ribotos, bet ne visos apribotos sekos susilieja. Dviejų konvergencinių sekų suma, skirtumas, sandauga taip pat yra konvergentinė seka. Tačiau koeficientas taip pat gali būti konvergentinis, jei jis yra apibrėžtas! Sekos ribos yra tokios pat reikšmingos (dažniausiai) kaip skaitmenys ir skaičiai: 1, 2, 15, 24, 362 ir tt Pasirodo, kai kurias operacijas galima atlikti ir su ribomis. Pirma, kaip ir skaitmenys ir skaičiai, bet kurios sekos ribas galima sudėti ir atimti. Remiantis trečiąja teorema apie sekų ribas, galioja tokia lygybė: sekų sumos riba lygi jų ribų sumai. Antra, remiantis ketvirtąja teorema apie sekų ribas, yra teisinga tokia lygybė: n-ojo sekų skaičiaus sandaugos riba yra lygi jų ribų sandaugai. Tas pats pasakytina ir apie padalijimą: dviejų sekų dalinio riba yra lygi jų ribų daliniui, jei riba nėra nulis. Juk jei sekų riba lygi nuliui, tai bus dalijimas iš nulio, o tai neįmanoma. Atrodytų, kad skaitinės sekos riba jau buvo gana išsamiai aptarta, tačiau tokios frazės kaip „be galo maži“ ir „be galo dideli“ skaičiai minimos ne kartą. Akivaizdu, kad jei yra seka 1/x, kur x→∞, tai tokia trupmena yra be galo maža, o jei ta pati seka, bet riba linkusi į nulį (x→0), tai trupmena tampa be galo didele reikšme. Ir tokie kiekiai turi savo ypatybes. Sekos, turinčios mažas ar dideles reikšmes, ribos savybės yra šios: Tiesą sakant, sekos ribos apskaičiavimas nėra tokia sudėtinga užduotis, jei žinote paprastą algoritmą. Tačiau nuoseklumo ribos – tema, reikalaujanti maksimalaus dėmesio ir užsispyrimo. Žinoma, pakanka tiesiog suvokti tokių posakių sprendimo esmę. Pradėdami nuo mažo, laikui bėgant galite pasiekti didelių aukštumų. Funkcijos riba- numeris a bus kurio nors kintamo dydžio riba, jei jo kitimo procese šis kintamasis dydis neribotą laiką priartės a. Arba, kitaip tariant, skaičius A yra funkcijos riba y = f(x) taške x 0, jei bet kuriai taškų sekai iš funkcijos apibrėžimo srities , nelygi x 0, ir kuris susilieja su tašku x 0 (lim x n = x0), atitinkamų funkcijų reikšmių seka susilieja į skaičių A. Funkcijos, kurios riba, esant argumentui, linkusiam į begalybę, yra lygi L: Reikšmė A yra funkcijos riba (ribinė vertė). f(x) taške x 0 bet kurios taškų sekos atveju Reikšmė A bus funkcijos riba f(x) taške x 0 jei už kokį nors iš anksto paimtą neneigiamą skaičių ε
bus rastas atitinkamas neneigiamas skaičius δ = δ(ε)
toks, kad kiekvienam argumentui x, atitinkančią sąlygą 0 < | x - x0 | < δ
, nelygybė bus patenkinta | f(x)A |< ε
. Tai bus labai paprasta, jei suprasite limito esmę ir pagrindines jo nustatymo taisykles. Kokia yra funkcijos riba f (x) adresu x siekiantis a lygus A, parašyta taip: Be to, vertė, į kurią linksta kintamasis x, gali būti ne tik skaičius, bet ir begalybė (∞), kartais +∞ arba -∞, arba ribos gali nebūti. Norėdami suprasti, kaip rasti funkcijos ribas, geriausia žiūrėti į sprendimų pavyzdžius. Būtina rasti funkcijos ribas f (x) = 1/x adresu: x→ 2,
x→ 0,
x→
∞.
Raskime pirmosios ribos sprendimą. Norėdami tai padaryti, galite tiesiog pakeisti x skaičius, į kurį jis linkęs, t.y. 2, gauname: Raskime antrąją funkcijos ribą. Vietoj to pakeiskite gryną 0 x tai neįmanoma, nes Negalite padalyti iš 0. Bet mes galime paimti reikšmes, artimas nuliui, pavyzdžiui, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 ir pan., ir funkcijos reikšmė f (x) padidės: 100; 1000; 10 000; 100 000 ir pan. Taigi galima suprasti, kad kada x→ 0
funkcijos reikšmė, kuri yra po ribiniu ženklu, didės be ribos, t.y. siekti begalybės. Tai reiškia: Dėl trečiosios ribos. Tokia pati situacija, kaip ir ankstesniu atveju, pakeisti neįmanoma ∞
gryniausia forma. Turime apsvarstyti neriboto padidėjimo atvejį x. 1000 pakeičiame po vieną; 10 000; 100 000 ir tt, mes turime tą funkcijos reikšmę f (x) = 1/x sumažės: 0,001; 0,0001; 0,00001; ir taip toliau, link nulio. Štai kodėl: Būtina apskaičiuoti funkcijos ribą Pradėdami spręsti antrąjį pavyzdį, matome neapibrėžtumą. Iš čia randame aukščiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį - tai yra x 3, išimame jį iš skliaustų skaitiklyje ir vardiklyje ir sumažiname taip: Atsakymas Pirmas žingsnis rasti šią ribą, vietoj to pakeiskite reikšmę 1 x, todėl atsiranda netikrumas. Norėdami tai išspręsti, suskaidykime skaitiklį faktoriais ir atlikime tai naudodami kvadratinės lygties šaknų radimo metodą x 2 + 2x - 3: D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16→
√
D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→
x 1 = -3;x 2= 1.
Taigi skaitiklis bus toks: Atsakymas Tai yra jos konkrečios reikšmės arba tam tikros srities, kurioje funkcija patenka, apibrėžimas, kurį riboja riba. Norėdami išspręsti apribojimus, vadovaukitės taisyklėmis: Supratę esmę ir pagrindinį limito sprendimo taisyklės, gausite pagrindinį supratimą, kaip juos išspręsti.Sekos ribos nustatymas
Bendras sekų ribos žymėjimas
Neapibrėžtumas ir ribos tikrumas
Kas yra kaimynystė?
Teoremos
Sekų įrodymas
O gal jo nėra?
Monotoniška seka
Konvergencinės ir apribotos sekos riba
Monotoninės sekos riba
Įvairūs veiksmai su apribojimais
Sekos dydžių savybės
, kuris susilieja su x 0, bet kuriame nėra x 0 kaip vienas iš jo elementų (t. y. pradurtoje aplinkoje x 0), funkcijos reikšmių seka 
susilieja su A.Funkcijos riba pagal Koši.
