Tačiau vien šios charakteristikos nepakanka atsitiktiniam dydžiui ištirti. Įsivaizduokime, kad du šauliai šaudo į taikinį. Vienas taikliai šaudo ir pataiko arti centro, o kitas... tiesiog linksminasi ir net nesitaiko. Bet juokingiausia, kad jis vidutinis rezultatas bus lygiai toks pat kaip ir pirmojo šaulio! Šią situaciją paprastai iliustruoja šie atsitiktiniai dydžiai:
„Snaiperio“ matematinis lūkestis yra lygus , tačiau „įdomiam žmogui“: - jis taip pat yra nulis!
Taigi, reikia kiekybiškai įvertinti, kiek išsibarstę kulkos (atsitiktinių kintamųjų reikšmės), palyginti su taikinio centru (matematinis lūkestis). gerai ir išsibarstymas išvertus iš lotynų kalbos yra ne kitaip, kaip dispersija .
Pažiūrėkime, kaip ši skaitinė charakteristika nustatoma naudojant vieną iš 1-osios pamokos dalies pavyzdžių: 
Ten radome nuviliančius matematinius šio žaidimo lūkesčius, o dabar turime apskaičiuoti jo dispersiją, kuri žymimas per .
Išsiaiškinkime, kiek laimėjimai/pralaimėjimai yra „išsibarstę“, palyginti su vidutine verte. Akivaizdu, kad tam turime apskaičiuoti skirtumus tarp atsitiktinių kintamųjų reikšmės ir ji matematinis lūkestis:
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
Dabar atrodo, kad reikia susumuoti rezultatus, bet šis kelias netinka – dėl to, kad svyravimai į kairę vienas kitą panaikins su svyravimais į dešinę. Taigi, pavyzdžiui, „mėgėjiškas“ šaulys (pavyzdys aukščiau) skirtumai bus 
, o pridėjus jie duos nulį, todėl negausime jokio jo šaudymo sklaidos įvertinimo.
Norėdami išspręsti šią problemą, galite apsvarstyti moduliai skirtumai, tačiau dėl techninių priežasčių požiūris įsitvirtino, kai jie yra kvadratiniai. Patogiau sprendimą suformuluoti lentelėje: 
Ir čia reikia skaičiuoti svertinis vidurkis kvadratinių nuokrypių vertė. Kas tai? Tai jų tikėtina vertė, kuris yra sklaidos matas:
– apibrėžimas dispersijos. Iš apibrėžimo iš karto aišku, kad dispersija negali būti neigiama– atkreipkite dėmesį į praktiką!
Prisiminkime, kaip rasti numatomą vertę. Padauginkite skirtumus kvadratu iš atitinkamų tikimybių (Lentelės tęsinys):
– vaizdžiai tariant, tai yra „traukos jėga“,
ir apibendrinkite rezultatus:
Ar nemanote, kad lyginant su laimėjimais rezultatas pasirodė per didelis? Teisingai – mes jį išlyginome kvadratu, o norėdami grįžti prie savo žaidimo dimensijos, turime išgauti kvadratinę šaknį. Šis kiekis vadinamas standartinis nuokrypis
ir žymimas graikiška raide „sigma“:
Ši vertė kartais vadinama standartinis nuokrypis .
Kokia jo prasmė? Jei nuo matematinio lūkesčio nukrypstame į kairę ir dešinę standartiniu nuokrypiu: 
– tada šiame intervale bus „koncentruotos“ labiausiai tikėtinos atsitiktinio dydžio reikšmės. Ką mes iš tikrųjų stebime:
Tačiau atsitinka taip, kad analizuojant sklaidą beveik visada operuojama su dispersijos sąvoka. Išsiaiškinkime, ką tai reiškia žaidimų atžvilgiu. Jei kalbant apie strėles, mes kalbame apie smūgių „tikslumą“, palyginti su taikinio centru, tada dispersija apibūdina du dalykus:
Pirma, akivaizdu, kad didėjant statymams, didėja ir sklaida. Taigi, pavyzdžiui, jei padidinsime 10 kartų, tada matematinis lūkestis padidės 10 kartų, o dispersija padidės 100 kartų (kadangi tai kvadratinis dydis). Tačiau atkreipkite dėmesį, kad pačios žaidimo taisyklės nepasikeitė! Grubiai tariant, pasikeitė tik kursai, kol statėme 10 rublių, dabar 100.
Antras, įdomesnis dalykas, yra tas, kad žaidimo stiliui būdinga dispersija. Psichiškai pataisykite žaidimo statymus tam tikru lygiu, ir pažiūrėkime, kas yra kas:
Mažos dispersijos žaidimas yra atsargus žaidimas. Žaidėjas linkęs rinktis patikimiausias schemas, kur vienu metu per daug nepralaimi/laimi. Pavyzdžiui, raudona/juoda sistema ruletėje (žr. 4 straipsnio pavyzdį Atsitiktiniai kintamieji) .
Didelės dispersijos žaidimas. Ji dažnai vadinama dispersinisžaidimas. Tai nuotykių kupinas arba agresyvus žaidimo stilius, kai žaidėjas pasirenka „adrenalino“ schemas. Prisiminkime bent "Martingale", kuriame rizikuojamos sumos yra eilėmis didesnės nei ankstesnio punkto „tylus“ žaidimas.
Situacija pokeryje yra orientacinė: yra vadinamųjų ankštusžaidėjų, kurie linkę būti atsargūs ir „drebėti“ dėl savo žaidimų lėšų (bankroll). Nenuostabu, kad jų bankrotas reikšmingai svyruoja (maža dispersija). Priešingai, jei žaidėjas turi didelę dispersiją, jis yra agresorius. Jis dažnai rizikuoja, atlieka didelius statymus ir gali sulaužyti didžiulį banką arba pralaimėti skeveldromis.
Tas pats nutinka Forex ir panašiai – pavyzdžių apstu.
Be to, visais atvejais nesvarbu, ar žaidžiama už centus, ar už tūkstančius dolerių. Kiekvienas lygis turi mažos ir didelės dispersijos žaidėjus. Na, kaip prisimename, vidutinis laimėjimas yra „atsakingas“ tikėtina vertė.
Tikriausiai pastebėjote, kad dispersijos nustatymas yra ilgas ir kruopštus procesas. Bet matematika dosni:
Sklaidos nustatymo formulė
Ši formulė yra tiesiogiai išvesta iš dispersijos apibrėžimo, ir mes iš karto pateikiame ją į apyvartą. Nukopijuosiu ženklą su aukščiau esančiu žaidimu: 
ir rastas matematinis lūkestis.
Apskaičiuokime dispersiją antruoju būdu. Pirmiausia suraskime matematinį lūkestį – atsitiktinio dydžio kvadratą. Autorius matematinio lūkesčio nustatymas:
Tokiu atveju:
Taigi, pagal formulę:
Kaip sakoma, pajuskite skirtumą. Ir praktiškai, žinoma, geriau naudoti formulę (nebent sąlyga reikalauja kitaip).
Įvaldome sprendimo ir projektavimo techniką:
6 pavyzdys
Raskite jo matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.
Ši užduotis randama visur ir, kaip taisyklė, neturi prasmės.
Galite įsivaizduoti kelias lemputes su skaičiais, kurios su tam tikra tikimybe užsidega beprotnamyje :)
Sprendimas: Pagrindinius skaičiavimus patogu apibendrinti lentelėje. Pirmiausia viršutinėse dviejose eilutėse įrašome pradinius duomenis. Tada apskaičiuojame produktus, tada ir galiausiai sumas dešiniajame stulpelyje: 
Tiesą sakant, beveik viskas yra paruošta. Trečioje eilutėje parodytas paruoštas matematinis lūkestis: 
.
Dispersiją apskaičiuojame pagal formulę:
Ir galiausiai standartinis nuokrypis:
– Asmeniškai aš dažniausiai apvalinu iki 2 ženklų po kablelio.
Visus skaičiavimus galima atlikti skaičiuotuvu arba dar geriau - „Excel“:
Čia sunku suklysti :)
Atsakymas:
Norintys gali dar labiau supaprastinti savo gyvenimą ir pasinaudoti mano privalumais skaičiuotuvas (demo), kuris ne tik akimirksniu išspręs šią problemą, bet ir sukurs teminė grafika (greitai atvyksime). Programa gali būti parsisiųsti iš bibliotekos– jei atsisiuntėte bent vieną mokomąją medžiagą arba gaunate Kitas būdas. Ačiū už paramą projektui!
Keletas užduočių, kurias reikia išspręsti savarankiškai:
7 pavyzdys
Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio dispersiją ankstesniame pavyzdyje pagal apibrėžimą.
Ir panašus pavyzdys:
8 pavyzdys
Diskretus atsitiktinis kintamasis nurodomas jo pasiskirstymo dėsniu:
Taip, atsitiktinių kintamųjų reikšmės gali būti gana didelės (pavyzdys iš tikro darbo), o čia, jei įmanoma, naudokite Excel. Kaip, beje, 7 pavyzdyje - tai greičiau, patikimiau ir maloniau.
Sprendimai ir atsakymai puslapio apačioje.
Baigdami 2-ąją pamokos dalį, panagrinėsime kitą tipišką problemą, galima sakyti, net mažą galvosūkį:
9 pavyzdys
Diskretus atsitiktinis dydis gali turėti tik dvi reikšmes: ir , ir . Yra žinomos tikimybės, matematinės lūkesčiai ir dispersija.
Sprendimas: Pradėkime nuo nežinomos tikimybės. Kadangi atsitiktinis kintamasis gali turėti tik dvi reikšmes, atitinkamų įvykių tikimybių suma yra tokia:
ir nuo tada .
Belieka tik surasti..., lengva pasakyti :) Bet va, štai. Pagal matematinio lūkesčio apibrėžimą: 
– pakeisti žinomus kiekius:
– ir nieko daugiau iš šios lygties negalima išspausti, išskyrus tai, kad galite ją perrašyti įprasta kryptimi: 
arba: 
Manau, kad galite atspėti tolesnius veiksmus. Sudarykime ir išspręskime sistemą: 
Žinoma, dešimtainės dalys yra visiška gėda; padauginkite abi lygtis iš 10: 
ir padalinti iš 2: 
Taip geriau. Iš 1-osios lygties išreiškiame: 
(tai lengviausias būdas)– pakeisti į 2 lygtį:
Mes statome kvadratu ir padaryti supaprastinimus: 
Padauginti iš: 
Rezultatas buvo kvadratinė lygtis, randame jo diskriminaciją:
- Puiku!
ir gauname du sprendimus:
1) jei 
, Tai 
;
2) jei 
, Tai.
Pirmoji verčių pora atitinka sąlygą. Su didele tikimybe viskas teisinga, bet vis dėlto užsirašykime paskirstymo dėsnį: 
ir atlikti patikrinimą, būtent, rasti lūkesčius:
Sklaidaatsitiktinis kintamasis- duotosios plitimo matas atsitiktinis kintamasis, tai yra, ji nukrypimai iš matematinio lūkesčio. Statistikoje žymėjimas (sigma kvadratas) dažnai naudojamas dispersijai žymėti. Sklaidos kvadratinė šaknis, lygia, vadinama standartinis nuokrypis arba standartinis užtepimas. Standartinis nuokrypis matuojamas tais pačiais vienetais kaip ir pats atsitiktinis dydis, o dispersija – to vieneto kvadratais.
Nors labai patogu naudoti tik vieną reikšmę (pvz., vidurkį arba režimą ir medianą), norint įvertinti visą imtį, šis metodas gali lengvai padaryti neteisingas išvadas. Tokios situacijos priežastis slypi ne pačioje vertėje, o tame, kad viena reikšmė niekaip neatspindi duomenų reikšmių sklaidos.
Pavyzdžiui, pavyzdyje:
vidutinė vertė yra 5.
Tačiau pačiame pavyzdyje nėra nė vieno elemento, kurio reikšmė būtų 5. Gali reikėti žinoti kiekvieno imties elemento artumo jo vidutinei vertei laipsnį. Kitaip tariant, turėsite žinoti reikšmių dispersiją. Žinodami duomenų pasikeitimo laipsnį, galite geriau interpretuoti Vidutinė vertė, mediana Ir mada. Mėginių verčių pasikeitimo laipsnis nustatomas apskaičiuojant jų dispersiją ir standartinį nuokrypį.
Dispersija ir dispersijos kvadratinė šaknis, vadinama standartiniu nuokrypiu, apibūdina vidutinį nuokrypį nuo imties vidurkio. Tarp šių dviejų dydžių svarbiausias yra standartinis nuokrypis. Šią reikšmę galima suprasti kaip vidutinį atstumą, kurį elementai yra nuo vidurinio imties elemento.
Variaciją sunku prasmingai interpretuoti. Tačiau šios vertės kvadratinė šaknis yra standartinis nuokrypis ir gali būti lengvai interpretuojamas.
Standartinis nuokrypis apskaičiuojamas pirmiausia nustatant dispersiją, o po to imant kvadratinę nuo dispersijos šaknį.
Pavyzdžiui, paveiksle parodytam duomenų masyvei bus gautos šios reikšmės:
1 paveikslas
Čia vidutinė skirtumų kvadrato reikšmė yra 717,43. Norint gauti standartinį nuokrypį, belieka paimti šio skaičiaus kvadratinę šaknį.
Rezultatas bus maždaug 26,78.
Atminkite, kad standartinis nuokrypis interpretuojamas kaip vidutinis atstumas, kurį elementai yra nuo imties vidurkio.
Standartinis nuokrypis matuoja, kaip gerai vidurkis apibūdina visą imtį.
Tarkime, kad esate PC surinkimo gamybos skyriaus vadovas. Ketvirčio ataskaitoje teigiama, kad praėjusį ketvirtį pagaminta 2500 kompiuterių. Ar tai gerai ar blogai? Prašėte (arba ataskaitoje jau yra šis stulpelis), kad ataskaitoje būtų rodomas standartinis šių duomenų nuokrypis. Pavyzdžiui, standartinis nuokrypis yra 2000. Jums, kaip skyriaus vadovui, tampa aišku, kad gamybos linija reikalauja geresnio valdymo (per dideli surenkamų kompiuterių skaičiaus nuokrypiai).
Prisiminkite, kad kai standartinis nuokrypis yra didelis, duomenys yra plačiai išsibarstę aplink vidurkį, o kai standartinis nuokrypis mažas, jie telkiasi arti vidurkio.
Keturios statistinės funkcijos VAR(), VAR(), STDEV() ir STDEV() skirtos skaičių dispersijai ir standartiniam nuokrypiui apskaičiuoti langelių diapazone. Prieš apskaičiuodami duomenų rinkinio dispersiją ir standartinį nuokrypį, turite nustatyti, ar duomenys atspindi populiaciją, ar jos imtį. Jei pavyzdį sudaro bendroji visuma, turėtumėte naudoti funkcijas VAR() ir STDEV(), o bendrosios visumos atveju – funkcijas VAR() ir STDEV():
| Gyventojų skaičius | Funkcija |
 | DISPR() |
 | STANDOTLONP() |
| Pavyzdys | |
 | DISP() |
 | STDEV() |
Dispersija (taip pat ir standartinis nuokrypis), kaip pažymėjome, rodo, kokiu mastu į duomenų rinkinį įtrauktos reikšmės yra išsklaidytos aplink aritmetinį vidurkį.
Maža dispersijos arba standartinio nuokrypio reikšmė rodo, kad visi duomenys yra sutelkti aplink aritmetinį vidurkį, o didelė šių reikšmių reikšmė rodo, kad duomenys yra išsklaidyti plačiame verčių diapazone.
Dispersiją gana sunku prasmingai interpretuoti (ką reiškia maža reikšmė, didelė reikšmė?). Spektaklis 3 užduotys leis vizualiai, grafike, parodyti duomenų rinkinio dispersijos reikšmę.
Užduotys
· 1 pratimas.
· 2.1. Pateikite sąvokas: dispersija ir standartinis nuokrypis; simbolinis jų paskyrimas statistiniams duomenims apdoroti.
· 2.2. Užpildykite darbalapį pagal 1 paveikslą ir atlikite reikiamus skaičiavimus.
· 2.3. Pateikite pagrindines skaičiavimuose naudojamas formules
· 2.4. Paaiškinkite visus pavadinimus ( , , )
· 2.5. Paaiškinkite dispersijos ir standartinio nuokrypio sąvokų praktinę reikšmę.
2 užduotis.
1.1. Pateikite sąvokas: bendroji visuma ir imtis; matematinis lūkestis ir jų aritmetinis vidurkis simbolinis žymėjimas statistiniams duomenims apdoroti.
1.2. Pagal 2 paveikslą paruoškite darbalapį ir atlikite skaičiavimus.
1.3. Pateikite pagrindines skaičiavimuose naudotas formules (bendrai visumai ir imčiai).
2 pav
1.4. Paaiškinkite, kodėl galima gauti tokias aritmetines vidutines vertes imtyse kaip 46,43 ir 48,78 (žr. failo priedą). Daryti išvadas.
3 užduotis.
Yra du pavyzdžiai su skirtingais duomenų rinkiniais, tačiau jų vidurkis bus toks pat:
3 pav
3.1. Užpildykite darbalapį pagal 3 paveikslą ir atlikite reikiamus skaičiavimus.
3.2. Pateikite pagrindines skaičiavimo formules.
3.3. Sudarykite grafikus pagal 4, 5 paveikslus.
3.4. Paaiškinkite gautas priklausomybes.
3.5. Atlikite panašius dviejų mėginių duomenų skaičiavimus.
Originalus pavyzdys 11119999
Pasirinkite antrojo imties reikšmes taip, kad antrojo mėginio aritmetinis vidurkis būtų toks pat, pavyzdžiui:
Antrojo pavyzdžio vertes pasirinkite patys. Išdėstykite skaičiavimus ir grafikus panašiai kaip 3, 4, 5 paveiksluose. Parodykite pagrindines skaičiavimuose naudojamas formules.
Padarykite atitinkamas išvadas.
Paruoškite visas užduotis ataskaitos forma su visais reikalingais paveikslėliais, grafikais, formulėmis ir trumpais paaiškinimais.
Pastaba: grafikų konstrukcija turi būti paaiškinta brėžiniais ir trumpais paaiškinimais.
Dispersijos tipai:
Bendra dispersija apibūdina visos populiacijos charakteristikos kitimą, veikiant visiems veiksniams, kurie sukėlė šį kitimą. Ši vertė nustatoma pagal formulę
kur yra visos tiriamos populiacijos bendras aritmetinis vidurkis.
Vidutinė dispersija grupės viduje nurodo atsitiktinį pokytį, kuris gali atsirasti veikiant bet kokiems neatsižvelgtiems veiksniams ir kuris nepriklauso nuo veiksnio požymio, sudarančio grupavimo pagrindą. Ši dispersija apskaičiuojama taip: pirmiausia apskaičiuojami atskirų grupių nuokrypiai (), tada apskaičiuojama vidutinė dispersija grupės viduje:
kur n i yra vienetų skaičius grupėje
Tarpgrupinė dispersija(grupinių vidurkių dispersija) apibūdina sistemingą variaciją, t.y. tiriamos charakteristikos vertės skirtumai, atsirandantys veikiant veiksniui-ženklui, kuris sudaro grupavimo pagrindą.
kur yra atskiros grupės vidutinė vertė.
Visi trys dispersijos tipai yra susiję vienas su kitu: bendra dispersija yra lygi vidutinės grupės viduje ir dispersijos tarp grupių sumai:
Savybės:
25 Santykiniai kitimo matai
|
Virpesių koeficientas |
|
|
Santykinis tiesinis nuokrypis |
|
|
Variacijos koeficientas |
|
Koef. Osc. O atspindi santykinį charakteristikos kraštutinių verčių svyravimą aplink vidurkį. Rel. lin. išjungti. apibūdina absoliučių nuokrypių nuo vidutinės reikšmės ženklo vidutinės reikšmės proporciją. Koef. Variacija yra labiausiai paplitęs kintamumo matas, naudojamas vidurkių tipiškumui įvertinti.
Statistikoje populiacijos, kurių variacijos koeficientas didesnis nei 30–35%, laikomos nevienalytėmis.
Paskirstymo serijų reguliarumas. Paskirstymo akimirkos. Pasiskirstymo formos rodikliai
Variacijų serijose yra ryšys tarp dažnių ir kintančios charakteristikos verčių: didėjant charakteristikai, dažnio reikšmė pirmiausia padidėja iki tam tikros ribos, o paskui mažėja. Tokie pokyčiai vadinami paskirstymo modelius.
Pasiskirstymo forma tiriama naudojant kreivumo ir kreivumo rodiklius. Skaičiuojant šiuos rodiklius, naudojami pasiskirstymo momentai.
K-osios eilės momentas yra charakteristikos variantų verčių nuokrypio nuo kokios nors pastovios vertės k-ojo laipsnių vidurkis. Momento eiliškumą lemia k reikšmė. Analizuojant variacijų eilutes apsiribojama pirmųjų keturių užsakymų momentų skaičiavimu. Skaičiuojant momentus, dažniai arba dažniai gali būti naudojami kaip svoriai. Priklausomai nuo pastovios reikšmės pasirinkimo, išskiriami pradiniai, sąlyginiai ir centriniai momentai.
Paskirstymo formos rodikliai:
Asimetrija(As) rodiklis, apibūdinantis pasiskirstymo asimetrijos laipsnį .
Todėl su (kairiosios pusės) neigiama asimetrija 
. Su (dešinės pusės) teigiama asimetrija 
.
Centriniai momentai gali būti naudojami asimetrijai apskaičiuoti. Tada:
,
kur μ 3 – trečios eilės centrinis momentas.
- kurtosis (E Į ) apibūdina funkcijos grafiko statumą, palyginti su normaliuoju pasiskirstymu, esant tokiam pat stiprumui:
,
kur μ 4 yra centrinis 4 eilės momentas.
Normalaus paskirstymo dėsnis
Normalaus skirstinio (Gauso skirstinio) pasiskirstymo funkcija yra tokia:
Lūkesčiai – standartinis nuokrypis
Normalus skirstinys yra simetriškas ir jam būdingas toks ryšys: Xav=Me=Mo
Normaliojo skirstinio kurtozė yra 3, o pasvirimo koeficientas yra 0.
Normalaus pasiskirstymo kreivė yra daugiakampis (simetriška varpo formos tiesi linija)
Dispersijų rūšys. Nuokrypių pridėjimo taisyklė. Empirinio determinacijos koeficiento esmė.
Jei pradinė populiacija yra suskirstyta į grupes pagal kokią nors reikšmingą charakteristiką, tada apskaičiuojami šie dispersijų tipai:
Bendra pradinės populiacijos dispersija:
kur yra bendra pradinės populiacijos vidutinė vertė, f yra pradinės populiacijos dažnis. Bendra dispersija apibūdina individualių charakteristikų verčių nuokrypį nuo bendros pradinės populiacijos vidutinės vertės.
Skirtumai grupės viduje:
kur j yra grupės skaičius, kiekvienos j-osios grupės dažnis; Dispersijos grupės viduje apibūdina kiekvienos grupės bruožo individualios vertės nuokrypį nuo grupės vidutinės vertės. Iš visų grupės viduje esančių dispersijų vidurkis apskaičiuojamas naudojant formulę:, kur yra kiekvienos j-osios grupės vienetų skaičius.
Tarpgrupinis dispersija:
Tarpgrupinė dispersija apibūdina grupių vidurkių nuokrypį nuo bendro pradinės populiacijos vidurkio.
Variacijos pridėjimo taisyklė yra tai, kad bendra pradinės populiacijos dispersija turėtų būti lygi dispersijos tarp grupių ir grupės viduje esančių dispersijų vidurkio sumai:
Empirinis determinacijos koeficientas parodo tiriamos charakteristikos kitimo proporciją dėl grupavimo charakteristikos kitimo ir apskaičiuojama pagal formulę:
Skaičiavimo nuo sąlyginio nulio metodas (momentų metodas) vidutinei vertei ir dispersijai apskaičiuoti
Sklaidos apskaičiavimas momentų metodu pagrįstas formulės ir 3 bei 4 dispersijos savybių panaudojimu.
(3. Jei visos atributo (parinkčių) reikšmės padidinamos (sumažinamos) kokiu nors pastoviu skaičiumi A, tai naujos populiacijos dispersija nepasikeis.
4. Jei visos atributo (parinkčių) reikšmės padidinamos (padauginamos) iš K kartų, kur K yra pastovus skaičius, tai naujos populiacijos dispersija padidės (sumažės) K 2 kartus.
Gauname formulę dispersijos skaičiavimui variacijų eilutėse su vienodais intervalais, naudojant momentų metodą:
A - sąlyginis nulis, lygus pasirinkimui su didžiausiu dažniu (intervalo su didžiausiu dažniu vidurys)
Vidutinės vertės apskaičiavimas momentų metodu taip pat pagrįstas vidurkio savybių panaudojimu.
Atrankinio stebėjimo samprata. Ekonominių reiškinių tyrimo atrankos metodu etapai
Imties stebėjimas – tai stebėjimas, kurio metu tiriami ir tiriami ne visi pradinės visumos vienetai, o tik dalis vienetų, o dalies visumos tyrimo rezultatas taikomas visai pradinei visumai. Vadinama populiacija, iš kurios atrenkami vienetai tolesniam tyrimui ir tyrimui bendras o visi šią visumą apibūdinantys rodikliai vadinami bendras.
Vadinamos galimos imties vidutinės vertės nuokrypių nuo bendrojo vidurkio ribos atrankos klaida.
Pasirinktų vienetų rinkinys vadinamas atrankinis o visi šią visumą apibūdinantys rodikliai vadinami atrankinis.
Mėginio tyrimas apima šiuos etapus:
Tyrimo objekto charakteristika (masiniai ekonominiai reiškiniai). Jei populiacija nedidelė, imti nerekomenduojama atlikti išsamų tyrimą;
Mėginio dydžio apskaičiavimas. Svarbu nustatyti optimalų tūrį, kuris leistų atrankos paklaidai būti priimtinose ribose mažiausiomis sąnaudomis;
Stebėjimo vienetų parinkimas atsižvelgiant į atsitiktinumo ir proporcingumo reikalavimus.
Reprezentatyvumo įrodymas, pagrįstas imties paklaidos įvertinimu. Atsitiktinės imties atveju paklaida apskaičiuojama naudojant formules. Tikslinei imčiai reprezentatyvumas vertinamas kokybiniais metodais (lyginimas, eksperimentas);
Imties visumos analizė. Jei sugeneruota imtis atitinka reprezentatyvumo reikalavimus, ji analizuojama naudojant analitinius rodiklius (vidutinį, santykinį ir kt.)
Sklaida aš
Dispersija (iš lotynų kalbos dispersio – sklaida)
matematinėje statistikoje ir tikimybių teorijoje – dažniausiai naudojamas sklaidos matas, t.y. nuokrypis nuo vidurkio. Statistine prasme D. yra reikšmių kvadratinių nuokrypių aritmetinis vidurkis x i nuo jų aritmetinio vidurkio Tikimybių teorijoje D. atsitiktinis kintamasis X vadinamas matematiniu lūkesčiu E ( X - m x) 2 kvadratiniai nuokrypiai X nuo jo matematinių lūkesčių m x= E ( X). D. atsitiktinis dydis Xžymimas D ( X) arba per σ 2 X. D. kvadratinė šaknis (ty σ, jei D. yra σ 2) vadinama standartiniu nuokrypiu (žr. Kvadratinį nuokrypį). Atsitiktiniam dydžiui X su nuolatiniu tikimybių pasiskirstymu, kuriam būdingas tikimybių tankis (žr. tikimybių tankį) R(X), D. apskaičiuojamas pagal formulę Tikimybių teorijoje didelę reikšmę turi teorema: Nepriklausomų narių suma lygi jų D sumai. Ne mažiau svarbi ir Čebyševo nelygybė, leidžianti įvertinti didelių atsitiktinio dydžio nuokrypių tikimybę. X nuo jo matematinių lūkesčių. D bangų buvimas sukelia signalų formos iškraipymą, kai jie sklinda terpėje. Tai paaiškinama tuo, kad skirtingų dažnių harmoninės bangos, į kurias galima išskaidyti signalą, sklinda skirtingu greičiu (plačiau žr. Bangos, Grupės greitis). Šviesos sklaida, kai ji sklinda skaidrioje prizmėje, lemia baltos šviesos skaidymąsi į spektrą (žr. Šviesos dispersija).
Didžioji sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .
Sinonimai:Pažiūrėkite, kas yra „Variance“ kituose žodynuose:
dispersija- Kažką išbarstyti. Matematikoje dispersija apibrėžia dydžių nuokrypį nuo vidutinės reikšmės. Dėl baltos šviesos sklaidos ji suskaidoma į komponentus. Dėl garso sklaidos jis išsiskleidžia. Išsaugomų duomenų išsklaidymas visoje... ... Techninis vertėjo vadovas
Šiuolaikinė enciklopedija
- (dispersija) Duomenų sklaidos matas. N narių aibės dispersija randama sudėjus jų nuokrypių nuo vidurkio kvadratus ir padalijus iš N. Todėl jei nariai yra xi, kai i = 1, 2,..., N, o jų vidurkis yra m , dispersija...... Ekonomikos žodynas
Sklaida- (iš lot. dispersio scattering) bangų, bangų sklidimo greičio medžiagoje priklausomybė nuo bangos ilgio (dažnio). Sklaidą lemia fizinės terpės, kurioje sklinda bangos, savybės. Pavyzdžiui, vakuume...... Iliustruotas enciklopedinis žodynas
- (iš lotynų kalbos dispersio scattering) matematinėje statistikoje ir tikimybių teorijoje, dispersijos (nukrypimo nuo vidurkio) matas. Statistikoje dispersija yra stebimų reikšmių (x1, x2,...,xn) atsitiktinių... ... Didysis enciklopedinis žodynas
Tikimybių teorijoje dažniausiai naudojamas nuokrypio nuo vidurkio matas yra dispersijos matas. Anglų kalba: Dispersija Sinonimai: Statistinė dispersija Anglų kalbos sinonimai: Statistinė dispersija Taip pat žiūrėkite: Pavyzdžių populiacijos Finansų... ... Finansų žodynas
- [lat. dispersus scattered, scattered] 1) išsklaidymas; 2) chemija, fizika. medžiagos suskaidymas į labai mažas daleles. D. šviesus baltos šviesos skaidymas į spektrą naudojant prizmę; 3) kilimėlis. nuokrypis nuo vidurkio. Užsienio žodžių žodynas. Komlev N.G.,...... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas
dispersija- (dispersijos) duomenų sklaidos rodiklis, atitinkantis šių duomenų vidutinį kvadratinį nuokrypį nuo aritmetinio vidurkio. Lygus standartinio nuokrypio kvadratui. Praktinio psichologo žodynas. M.: AST, derlius. S. Yu Golovinas. 1998... Puiki psichologinė enciklopedija
Sklaida, sklaida Rusų sinonimų žodynas. dispersijos daiktavardis, sinonimų skaičius: 6 nanodispersija (1) ... Sinonimų žodynas
Sklaida- būdinga atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidai, matuojama jų nuokrypių nuo vidutinės vertės kvadratu (žymima d2). D. skiriasi teorinis (nuolatinis arba diskretinis) ir empirinis (taip pat tęstinis ir... ... Ekonomikos ir matematikos žodynas
Sklaida- * dispersija * dispersija 1. Dispersija; išsklaidyti; variacija (žr.). 2. Teorinė tikimybės samprata, apibūdinanti atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matą. Biometrinėje praktikoje imties dispersija s2 ... Genetika. enciklopedinis žodynas
Knygos
- Anomali dispersija plačiose sugerties juostose, D.S. Kalėdos. Atkurta originalia 1934 m. leidimo autoriaus rašyba (leidykla „TSRS mokslų akademijos Izvestija“). IN…
Ankstesniame pateikėme daugybę formulių, kurios leidžia rasti funkcijų skaitines charakteristikas, kai žinomi argumentų pasiskirstymo dėsniai. Tačiau daugeliu atvejų, norint rasti funkcijų skaitines charakteristikas, nebūtina net žinoti argumentų pasiskirstymo dėsnių, o pakanka žinoti tik kai kurias jų skaitines charakteristikas; tuo pat metu mes paprastai apsieiname be jokių paskirstymo dėsnių. Funkcijų skaitinių charakteristikų nustatymas iš pateiktų argumentų skaitinių charakteristikų yra plačiai naudojamas tikimybių teorijoje ir gali žymiai supaprastinti daugelio problemų sprendimą. Dauguma šių supaprastintų metodų yra susiję su tiesinėmis funkcijomis; tačiau kai kurios elementarios netiesinės funkcijos taip pat leidžia taikyti panašų požiūrį.
Dabar pateiksime keletą teoremų apie funkcijų skaitines charakteristikas, kurios kartu yra labai paprastas šių charakteristikų skaičiavimo aparatas, taikomas įvairiomis sąlygomis.
1. Neatsitiktinės reikšmės matematinis lūkestis
Suformuluota savybė gana akivaizdi; tai galima įrodyti laikant neatsitiktinį kintamąjį specialiu atsitiktinumo tipu, kurio viena galima reikšmė su tikimybe viena; tada pagal bendrąją matematinio lūkesčio formulę:
.
2. Neatsitiktinio dydžio dispersija
Jei yra neatsitiktinė reikšmė, tada
3. Neatsitiktinės reikšmės pakeitimas matematinio lūkesčio ženklu
, (10.2.1)
tai yra, neatsitiktinė reikšmė gali būti paimta kaip matematinio lūkesčio ženklas.
Įrodymas.
a) Nepertraukiamiems kiekiams
b) Nepertraukiamiems kiekiams
.
4. Sklaidos ženklo ir standartinio nuokrypio pakeitimas neatsitiktine reikšme
Jei yra neatsitiktinis dydis ir yra atsitiktinis, tada
, (10.2.2)
tai yra, neatsitiktinė reikšmė gali būti išimama iš dispersijos ženklo, padalijus ją kvadratu.
Įrodymas. Pagal dispersijos apibrėžimą
Pasekmė
,
y., neatsitiktinė reikšmė gali būti išimama iš standartinio nuokrypio ženklo absoliučia verte. Įrodymą gauname paėmę kvadratinę šaknį iš (10.2.2) formulės ir atsižvelgdami į tai, kad r.s.o. - reikšmingai teigiama vertė.
5. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis
Įrodykime, kad bet kuriems dviem atsitiktiniams dydžiams ir
y., dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai.
Ši savybė žinoma kaip matematinių lūkesčių sudėjimo teorema.
Įrodymas.
a) Tegul yra nenutrūkstamų atsitiktinių dydžių sistema. Taikykime bendrąją formulę (10.1.6) atsitiktinių dydžių sumai dviejų argumentų funkcijos matematinei lūkesčiai:
.
Ho reiškia tik bendrą tikimybę, kad kiekis įgis vertę:
;
vadinasi,
.
Panašiai tai įrodysime
,
o teorema įrodyta.
b) Tegul yra nuolatinių atsitiktinių dydžių sistema. Pagal formulę (10.1.7)
. (10.2.4)
Paverskime pirmąjį iš integralų (10.2.4):
;
panašiai
,
o teorema įrodyta.
Atskirai reikia pažymėti, kad matematinių lūkesčių pridėjimo teorema galioja bet kokiems atsitiktiniams dydžiams – ir priklausomiems, ir nepriklausomiems.
Matematinių lūkesčių pridėjimo teorema apibendrinta iki savavališko skaičiaus terminų:
, (10.2.5)
tai yra kelių atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai.
Norėdami tai įrodyti, pakanka naudoti visiškos indukcijos metodą.
6. Matematinė tiesinės funkcijos lūkestis
Apsvarstykite kelių atsitiktinių argumentų tiesinę funkciją:
kur yra neatsitiktiniai koeficientai. Įrodykime tai
, (10.2.6)
y., matematinis tiesinės funkcijos lūkestis yra lygus tai pačiai argumentų matematinių lūkesčių tiesinei funkcijai.
Įrodymas. Naudojant sudėjimo teoremą m.o. ir neatsitiktinio dydžio išdėstymo už m.o ženklo ribų taisyklę, gauname:
.
7. Dispepši atsitiktinių dydžių suma
Dviejų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi jų dispersijų sumai ir dvigubam koreliacijos momentui:
Įrodymas. Pažymėkime
Pagal matematinių lūkesčių sudėjimo teoremą
Pereikime nuo atsitiktinių dydžių prie atitinkamų centre esančių kintamųjų. Iš lygybės (10.2.8) atėmus lygybę (10.2.9) pagal terminą, gauname:
Pagal dispersijos apibrėžimą
Q.E.D.
Sumos dispersijos formulė (10.2.7) gali būti apibendrinta bet kokiam terminų skaičiui:
,
(10.2.10)
kur yra dydžių koreliacijos momentas, ženklas po suma reiškia, kad sumavimas apima visas įmanomas atsitiktinių dydžių porines kombinacijas 
.
Įrodymas yra panašus į ankstesnį ir išplaukia iš daugianario kvadrato formulės.
Formulę (10.2.10) galima parašyti kita forma:
, (10.2.11)
kur dviguba suma apima visus dydžių sistemos koreliacinės matricos elementus , kuriame yra ir koreliacijos momentai, ir dispersijos.
Jei visi atsitiktiniai dydžiai , įtraukti į sistemą, yra nekoreliuojami (t. y. kada ), formulė (10.2.10) yra tokia:
, (10.2.12)
tai yra nesusijusių atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi dėmenų dispersijų sumai.
Ši pozicija yra žinoma kaip dispersijų sudėjimo teorema.
8. Tiesinės funkcijos dispersija
Panagrinėkime kelių atsitiktinių dydžių tiesinę funkciją.
kur yra neatsitiktiniai dydžiai.
Įrodykime, kad šios tiesinės funkcijos sklaida išreiškiama formule
, (10.2.13)
kur yra dydžių koreliacijos momentas , .
Įrodymas. Supažindinkime su užrašu:
. (10.2.14)
Taikydami formulę (10.2.10) sumos sklaidai dešinėje išraiškos pusėje (10.2.14) ir atsižvelgdami į tai, gauname:
kur yra dydžių koreliacijos momentas:
.
Apskaičiuokime šį momentą. Mes turime:
;
panašiai
Pakeitę šią išraišką į (10.2.15), gauname formulę (10.2.13).
Ypatingu atveju, kai visi kiekiai yra nekoreliuojami, formulė (10.2.13) yra tokia:
, (10.2.16)
tai yra nesusijusių atsitiktinių dydžių tiesinės funkcijos dispersija yra lygi koeficientų kvadratų sandaugų ir atitinkamų argumentų dispersijų sumai.
9. Atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis
Dviejų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai plius koreliacijos momentas:
Įrodymas. Mes tęsime nuo koreliacijos momento apibrėžimo:
Transformuokime šią išraišką naudodami matematinio lūkesčio savybes:
kuri akivaizdžiai atitinka (10.2.17) formulę.
Jei atsitiktiniai dydžiai nėra koreliuojami, tada (10.2.17) formulė įgauna tokią formą:
tai yra dviejų nesusijusių atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Ši pozicija žinoma kaip matematinių lūkesčių daugybos teorema.
Formulė (10.2.17) yra ne kas kita, kaip antrojo mišraus centrinio sistemos momento išraiška per antrąjį mišrų pradinį momentą ir matematinius lūkesčius:
. (10.2.19)
Ši išraiška praktikoje dažnai naudojama skaičiuojant koreliacijos momentą taip pat, kaip vieno atsitiktinio kintamojo dispersija dažnai apskaičiuojama per antrąjį pradinį momentą ir matematinį lūkestį.
Matematinių lūkesčių daugybos teorema apibendrinta į savavališką skaičių faktorių, tik šiuo atveju jai pritaikyti neužtenka, kad dydžiai būtų nekoreliuojami, o reikalaujama, kad būtų keli didesni mišri momentai, kurių skaičius priklauso dėl terminų skaičiaus gaminyje išnyks. Šios sąlygos tikrai tenkinamos, jei į produktą įtraukti atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi. Tokiu atveju
, (10.2.20)
y., nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Šį teiginį galima lengvai įrodyti visiška indukcija.
10. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos dispersija
Įrodykime tai nepriklausomiems dydžiams
Įrodymas. Pažymėkime. Pagal dispersijos apibrėžimą
Kadangi kiekiai yra nepriklausomi, ir
Kai nepriklausomi, kiekiai taip pat yra nepriklausomi; vadinasi,
,
Tačiau nėra nieko daugiau nei antrasis pradinis dydžio momentas, todėl jis išreiškiamas dispersija:
;
panašiai
.
Pakeitę šias išraiškas į formulę (10.2.22) ir suvedę panašius terminus, gauname formulę (10.2.21).
Tuo atveju, kai centruotieji atsitiktiniai dydžiai (kintamieji, kurių matematiniai lūkesčiai lygūs nuliui) dauginami, formulė (10.2.21) įgauna tokią formą:
, (10.2.23)
tai yra nepriklausomų centruotų atsitiktinių dydžių sandaugos dispersija yra lygi jų dispersijų sandaugai.
11. Didesni atsitiktinių dydžių sumos momentai
Kai kuriais atvejais reikia apskaičiuoti didžiausius nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos momentus. Įrodykime kai kuriuos čia susijusius ryšius.
1) Jei kiekiai yra nepriklausomi, tada
Įrodymas.
iš kur pagal matematinių lūkesčių daugybos teoremą
Bet pirmasis bet kurio kiekio centrinis momentas yra nulis; du viduriniai terminai išnyksta ir formulė (10.2.24) yra įrodyta.
Santykis (10.2.24) yra lengvai apibendrintas indukcija į savavališką skaičių nepriklausomų terminų:
. (10.2.25)
2) Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos ketvirtasis centrinis momentas išreiškiamas formule
kur yra dydžių ir dispersijos.
Įrodymas visiškai panašus į ankstesnį.
Taikant pilnos indukcijos metodą, nesunku įrodyti (10.2.26) formulės apibendrinimą iki savavališko skaičiaus nepriklausomų terminų.
