სინუსური კოსინუსის მახასიათებლები და გამოყენება. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი - ყველაფერი რაც თქვენ უნდა იცოდეთ მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე. განსაზღვრებისა და ღირებულებების სფეროები, მზარდი, კლებადი

ეს სტატია განიხილავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სამ ძირითად თვისებას: სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს.

პირველი თვისება არის ფუნქციის ნიშანი იმისდა მიხედვით, თუ რომელ მეოთხედს მიეკუთვნება α კუთხე. მეორე თვისებაა პერიოდულობა. ამ თვისების მიხედვით, ტიგონომეტრიული ფუნქცია არ ცვლის თავის მნიშვნელობას, როდესაც კუთხე იცვლება ბრუნების მთელი რიცხვით. მესამე თვისება განსაზღვრავს, თუ როგორ იცვლება sin, cos, tg, ctg ფუნქციების მნიშვნელობები α და - α საპირისპირო კუთხით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ხშირად მათემატიკურ ტექსტში ან პრობლემის კონტექსტში შეგიძლიათ იპოვოთ ფრაზა: „პირველი, მეორე, მესამე ან მეოთხე კოორდინატთა კვარტალის კუთხე“. რა არის ეს?

მოდით მივმართოთ ერთეულების წრეს. იგი დაყოფილია ოთხ კვარტალად. წრეზე ავღნიშნოთ საწყისი წერტილი A 0 (1, 0) და O წერტილის გარშემო α კუთხით ვატრიალებთ, მივიღებთ A 1 წერტილს (x, y). იმის მიხედვით, თუ რომელ მეოთხედში დევს A 1 (x, y) წერტილი, α კუთხეს ეწოდება შესაბამისად პირველი, მეორე, მესამე და მეოთხე მეოთხედის კუთხე.

სიცხადისთვის, აქ არის ილუსტრაცია.

კუთხე α = 30° დევს პირველ მეოთხედში. კუთხე - 210° არის მეორე მეოთხედის კუთხე. 585° კუთხე არის მესამე მეოთხედის კუთხე. კუთხე - 45° მეოთხე მეოთხედის კუთხეა.

ამ შემთხვევაში, კუთხეები ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° არ მიეკუთვნება არცერთ მეოთხედს, რადგან ისინი დევს კოორდინატთა ღერძებზე.

ახლა განიხილეთ ნიშნები, რომლებსაც სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი იღებენ, იმისდა მიხედვით, თუ რომელ კვადრატში მდებარეობს კუთხე.

სინუსის ნიშნების დასადგენად მეოთხედით, გაიხსენეთ განმარტება. სინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატი. ფიგურა აჩვენებს, რომ პირველ და მეორე კვარტალში დადებითია, ხოლო მესამე და ოთხმაგში უარყოფითი.

კოსინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსციზა. ამის შესაბამისად ვადგენთ წრეზე კოსინუსის ნიშნებს. პირველ და მეოთხე კვარტალში კოსინუსი დადებითია, მეორე და მესამე მეოთხედებში უარყოფითი.

ტანგენტისა და კოტანგენტის ნიშნების კვარტლების დასადგენად, ჩვენ ასევე გავიხსენებთ ამ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებებს. ტანგენტი არის წერტილის ორდინატის შეფარდება აბსცისასთან. ეს ნიშნავს, რომ სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის წესის მიხედვით, როცა ორდინატსა და აბსცისს ერთი და იგივე ნიშნები აქვთ, წრეზე ტანგენტის ნიშანი დადებითი იქნება, ხოლო როცა ორდინატსა და აბსცისს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, უარყოფითი. . ანალოგიურად განისაზღვრება კოტანგენტების ნიშნები მეოთხედებისთვის.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!

α კუთხის სინუსს აქვს პლუსის ნიშანი პირველ და მე-2 მეოთხედებში, მინუს ნიშანი მე-3 და მე-4 მეოთხედებში.
α კუთხის კოსინუსს აქვს პლუსის ნიშანი პირველ და მე-4 მეოთხედებში, მინუს ნიშანი მე-2 და მე-3 მეოთხედებში.
კუთხის α ტანგენტს აქვს პლუსის ნიშანი 1-ელ და მე-3 მეოთხედებში, მინუს ნიშანი მე-2 და მე-4 მეოთხედებში.
α კუთხის კოტანგენტს აქვს პლუსის ნიშანი პირველ და მე-3 მეოთხედებში, მინუს ნიშანი მე-2 და მე-4 კვარტალში.

პერიოდულობის თვისება

პერიოდულობის თვისება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთ-ერთი ყველაზე აშკარა თვისებაა.

პერიოდულობის თვისება

როდესაც კუთხე იცვლება სრული ბრუნვის მთელი რიცხვით, ამ კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები უცვლელი რჩება.

მართლაც, როდესაც კუთხე იცვლება ბრუნთა მთელი რიცხვით, ჩვენ ყოველთვის მივიღებთ ერთეული წრის საწყისი წერტილიდან A 1 წერტილამდე იგივე კოორდინატებით. შესაბამისად, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობები არ შეიცვლება.

მათემატიკურად, ეს თვისება იწერება შემდეგნაირად:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

როგორ გამოიყენება ეს ქონება პრაქტიკაში? პერიოდულობის თვისება, ისევე როგორც შემცირების ფორმულები, ხშირად გამოიყენება დიდი კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

მოვიყვანოთ მაგალითები.

sin 13 π 5 = ცოდვა 3 π 5 + 2 π = ცოდვა 3 π 5

tg (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ერთეულების წრეს.

წერტილი A 1 (x, y) არის A 0 (1, 0) საწყისი წერტილის ბრუნვის შედეგი წრის ცენტრის გარშემო α კუთხით. წერტილი A 2 (x, - y) არის საწყისი წერტილის - α კუთხით ბრუნვის შედეგი.

წერტილები A 1 და A 2 სიმეტრიულია აბსცისის ღერძის მიმართ. იმ შემთხვევაში, როდესაც α = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° წერტილები A 1 და A 2 ემთხვევა. ერთ წერტილს ჰქონდეს კოორდინატები (x, y) და მეორე - (x, - y). გავიხსენოთ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის განმარტებები და დავწეროთ:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

ეს გულისხმობს საპირისპირო კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების თვისებას.

საპირისპირო კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების თვისება

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

ამ თვისების მიხედვით, ტოლობები ჭეშმარიტია

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

ეს თვისება ხშირად გამოიყენება პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად იმ შემთხვევებში, როდესაც აუცილებელია უარყოფითი კუთხის ნიშნების მოშორება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არგუმენტებში.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

სინუსის და კოსინუსის გეომეტრიული განმარტება

\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)

α - რადიანებში გამოხატული კუთხე.

სინუსი (sin α)არის ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის α კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AB|.

კოსინუსი (cos α)არის ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის α კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც უდრის მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |AC| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AB|.

ტრიგონომეტრიული განსაზღვრება

ზემოთ მოყვანილი ფორმულების გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ მწვავე კუთხის სინუსი და კოსინუსი. მაგრამ თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ გამოვთვალოთ თვითნებური ზომის კუთხის სინუსი და კოსინუსი. მართკუთხა სამკუთხედი არ იძლევა ასეთ შესაძლებლობას (მას არ შეიძლება ჰქონდეს ბლაგვი კუთხე, მაგალითად); ამიტომ, ჩვენ გვჭირდება სინუსის და კოსინუსის უფრო ზოგადი განმარტება, რომელიც შეიცავს ამ ფორმულებს, როგორც განსაკუთრებულ შემთხვევას.

ტრიგონომეტრიული წრე სამაშველოში მოდის. მიეცით რაიმე კუთხე; იგი შეესაბამება ამავე სახელწოდების წერტილს ტრიგონომეტრიულ წრეზე.

ბრინჯი. 2. სინუსის და კოსინუსის ტრიგონომეტრიული განსაზღვრება

კუთხის კოსინუსი არის წერტილის აბსცისა. კუთხის სინუსი არის წერტილის ორდინატი.

ნახ. 2, კუთხე მიიღება მახვილად და ადვილი გასაგებია, რომ ეს განსაზღვრება ემთხვევა ზოგად გეომეტრიულ განმარტებას. სინამდვილეში, ჩვენ ვხედავთ მართკუთხა სამკუთხედს ერთეული ჰიპოტენუზით O და მახვილი კუთხით. ამ სამკუთხედის მიმდებარე ფეხი არის cos (შეადარეთ სურ. 1) და ამავე დროს წერტილის აბსციზა; მოპირდაპირე მხარე არის ცოდვა (როგორც სურ. 1) და ამავე დროს წერტილის ორდინატი.

მაგრამ ახლა ჩვენ აღარ ვართ შეზღუდული პირველი კვარტალით და გვაქვს შესაძლებლობა გავავრცელოთ ეს განმარტება ნებისმიერ კუთხით. ნახ. სურათი 3 გვიჩვენებს რა არის კუთხის სინუსი და კოსინუსი მეორე, მესამე და მეოთხე მეოთხედში.

ბრინჯი. 3. სინუსი და კოსინუსი II, III და IV კვარტალებში

სინუსის და კოსინუსების ცხრილის მნიშვნელობები

ნულოვანი კუთხე \(\LARGE 0^(\circ ) \)

0 წერტილის აბსციზა 1-ის ტოლია, 0-ის ორდინატი 0-ის ტოლია. აქედან გამომდინარე,

cos 0 = 1 ცოდვა 0 = 0

ნახ 4. ნულოვანი კუთხე

კუთხე \(\LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)

ჩვენ ვხედავთ მართკუთხა სამკუთხედს ერთეული ჰიპოტენუზით და 30°-ის მახვილი კუთხით. მოგეხსენებათ, 30° კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზა 1-ის ნახევარს; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვერტიკალური ფეხი უდრის 1/2-ს და, შესაბამისად,

\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]

ჩვენ ვპოულობთ ჰორიზონტალურ ფეხს პითაგორას თეორემის გამოყენებით (ან, რაც იგივეა, ვპოულობთ კოსინუსს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით):

\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \მარჯვნივ)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]

1 რატომ ხდება ეს? დავჭრათ ტოლგვერდა სამკუთხედი გვერდით 2 მისი სიმაღლის გასწვრივ! ის გაიყოფა ორ მართკუთხა სამკუთხედად ჰიპოტენუზა 2, მახვილი კუთხე 30° და მოკლე ფეხი 1.

ნახ 5. კუთხე π/6

კუთხე \(\LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)

ამ შემთხვევაში მართკუთხა სამკუთხედი არის ტოლფერდა; 45° კუთხის სინუსი და კოსინუსი ერთმანეთის ტოლია. მოდით აღვნიშნოთ ისინი x-ით ახლა. Ჩვენ გვაქვს:

\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]

საიდანაც \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). აქედან გამომდინარე,

\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]

ნახ 5. კუთხე π/4

სინუსის და კოსინუსის თვისებები

მიღებული ნოტაციები

\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\ quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\ quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).

\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\ quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\ quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).

პერიოდულობა

y = sin x და y = cos x ფუნქციები პერიოდულია 2π პერიოდით.

\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)

პარიტეტი

სინუს ფუნქცია უცნაურია. კოსინუს ფუნქცია ლუწია.

\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)

განსაზღვრებისა და მნიშვნელობების სფეროები, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება

სინუსის და კოსინუსის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში ( ნ- მთლიანი).

	\(\პატარა< x < \)	\(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\small 2\pi n \)
Დაღმავალი	\(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\პატარა< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \)	\(\small 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \)
მაქსიმა, \(\პატარა x =\) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)	\(\small x = 2\pi n\)
მინიმალური, \(\small x = \) \(\small -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)	\(\small x = \) \(\small \pi + 2\pi n \)
ნულები, \(\small x = \pi n\)	\(\small x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \)
Y-ღერძის გადაკვეთის წერტილები, x = 0	y = 0	y = 1

ძირითადი ფორმულები, რომლებიც შეიცავს სინუსსა და კოსინუსს

კვადრატების ჯამი

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

ჯამისა და სხვაობის სინუსებისა და კოსინუსების ფორმულები

\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \მარჯვნივ) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \მარჯვნივ) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)

სინუსებისა და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები

\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\დიდი [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\დიდი ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\დიდი [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\დიდი ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\დიდი [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\დიდი ]) \)

\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\ sin^2 x = \dfrac12 (\დიდი [) 1 - \cos 2x (\დიდი ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\დიდი [) 1 + \cos 2x (\დიდი ]) \)

ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)

სინუსის გამოხატვა კოსინუსის მეშვეობით

\(\sin x = \cos\ მარცხენა (\dfrac(\pi)2 - x \მარჯვნივ) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \მარჯვნივ) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \მარჯვნივ) \)\(\ sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).

კოსინუსის გამოხატვა სინუსში

\(\cos x = \sin\ მარცხენა (\dfrac(\pi)2 - x \მარჯვნივ) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \მარჯვნივ) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \მარჯვნივ) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).

გამოხატვა ტანგენტის საშუალებით

\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).

ზე \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

ზე \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \) :
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილი, ტანგენტები და კოტანგენტები

ეს ცხრილი გვიჩვენებს სინუსების და კოსინუსების მნიშვნელობებს არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის.
[img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt=" სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილი" title="სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილი" ]!}

გამონათქვამები რთული ცვლადების მეშვეობით

\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)

ეილერის ფორმულა

\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)

გამოხატვები ჰიპერბოლური ფუნქციების საშუალებით

\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)

წარმოებულები

\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . ფორმულების გამოყვანა >>>

n-ე რიგის წარმოებულები:
\(\ მარცხენა (\sin x \მარჯვნივ)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \მარჯვნივ) \)\(\ left(\cos x \მარჯვნივ)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \მარჯვნივ) \).

ინტეგრალები

\(\int \sin x\, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
აგრეთვე იხილეთ განყოფილება განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი >>>

სერიის გაფართოება

\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \) !} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \) !} \(\( - \infty< x < \infty \} \)

სეკანტი, კოსეკანტი

\(\sec x = \dfrac1( \cos x) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x) \)

ინვერსიული ფუნქციები

სინუსის და კოსინუსის შებრუნებული ფუნქციებია რკსინი და არკოზინი, შესაბამისად.

არქსინი, რკალი

\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \მარჯვნივ\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\მარცხნივ\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \მარჯვნივ\) \)

არკოზინი, არკოზი

\(y = \arccos x\) \(\მარცხნივ\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \მარჯვნივ\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, "ლან", 2009 წ.

Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოთვლების შესასრულებლად, თქვენ უნდა ჩართოთ ActiveX კონტროლი!

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

აუცილებლობის შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ტრიგონომეტრია, როგორც მეცნიერება, წარმოიშვა ძველ აღმოსავლეთში. პირველი ტრიგონომეტრიული კოეფიციენტები ასტრონომებმა გამოიგონეს ზუსტი კალენდრისა და ვარსკვლავების ორიენტაციის შესაქმნელად. ეს გამოთვლები დაკავშირებულია სფერულ ტრიგონომეტრიასთან, ხოლო სასკოლო კურსზე ისინი სწავლობენ სიბრტყის სამკუთხედის გვერდებისა და კუთხეების თანაფარდობას.

ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეხება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებებს და სამკუთხედების გვერდებსა და კუთხეებს შორის ურთიერთობას.

ჩვენი წელთაღრიცხვით I ათასწლეულში კულტურისა და მეცნიერების აყვავების პერიოდში ცოდნა ძველი აღმოსავლეთიდან საბერძნეთში გავრცელდა. მაგრამ ტრიგონომეტრიის მთავარი აღმოჩენები არაბთა ხალიფატის კაცთა დამსახურებაა. კერძოდ, თურქმენმა მეცნიერმა ალ-მარაზვიმ შემოიტანა ისეთი ფუნქციები, როგორიცაა ტანგენსი და კოტანგენსი და შეადგინა მნიშვნელობების პირველი ცხრილები სინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების. სინუსის და კოსინუსის ცნებები შემოიღეს ინდოელმა მეცნიერებმა. ტრიგონომეტრიას დიდი ყურადღება ექცევა ანტიკურობის ისეთი დიდი მოღვაწეების ნაშრომებში, როგორებიც იყვნენ ევკლიდე, არქიმედეს და ერატოსთენე.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი რაოდენობები

რიცხვითი არგუმენტის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი გრაფიკი: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.

ამ რაოდენობების მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები ეფუძნება პითაგორას თეორემას. სკოლის მოსწავლეებისთვის ეს უფრო ცნობილია ფორმულირებით: „პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია“, რადგან მტკიცებულება მოცემულია ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის მაგალითის გამოყენებით.

სინუსი, კოსინუსი და სხვა მიმართებები ადგენს კავშირს ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედის მახვილ კუთხეებსა და გვერდებს შორის. მოდით წარმოვადგინოთ ფორმულები ამ სიდიდის გამოსათვლელად A კუთხისთვის და მივყვეთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის მიმართებებს:

როგორც ხედავთ, tg და ctg შებრუნებული ფუნქციებია. თუ ფეხი a წარმოვიდგენთ, როგორც ცოდვის A და c ჰიპოტენუზის ნამრავლი, ხოლო b ფეხი, როგორც cos A * c, მივიღებთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შემდეგ ფორმულებს:

ტრიგონომეტრიული წრე

გრაფიკულად, აღნიშნულ რაოდენობებს შორის ურთიერთობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

წრე, ამ შემთხვევაში, წარმოადგენს α კუთხის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას - 0°-დან 360°-მდე. როგორც ნახატიდან ჩანს, თითოეული ფუნქცია კუთხიდან გამომდინარე იღებს უარყოფით ან დადებით მნიშვნელობას. მაგალითად, sin α-ს ექნება „+“ ნიშანი, თუ α ეკუთვნის წრის 1-ლ და მე-2 მეოთხედებს, ანუ ის არის 0°-დან 180°-მდე დიაპაზონში. α 180°-დან 360°-მდე (III და IV კვარტალი), sin α შეიძლება იყოს მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელობა.

შევეცადოთ ავაშენოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილები კონკრეტული კუთხისთვის და გავარკვიოთ რაოდენობების მნიშვნელობა.

α-ის მნიშვნელობებს, რომლებიც ტოლია 30°, 45°, 60°, 90°, 180° და ა.შ. განსაკუთრებული შემთხვევები ეწოდება. მათთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები გამოითვლება და წარმოდგენილია სპეციალური ცხრილების სახით.

ეს კუთხეები შემთხვევით არ იყო არჩეული. ცხრილებში π აღნიშვნა არის რადიანებისთვის. რად არის კუთხე, რომლის დროსაც წრის რკალის სიგრძე შეესაბამება მის რადიუსს. ეს მნიშვნელობა დაინერგა უნივერსალური დამოკიდებულების დასამყარებლად რადიანებში გაანგარიშებისას, რადიუსის რეალურ სიგრძეს სმ-ში მნიშვნელობა არ აქვს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილების კუთხეები შეესაბამება რადიანის მნიშვნელობებს:

ასე რომ, ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ 2π არის სრული წრე ან 360°.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები: სინუსი და კოსინუსი

სინუსის და კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის ძირითადი თვისებების გასათვალისწინებლად და შესადარებლად აუცილებელია მათი ფუნქციების დახატვა. ეს შეიძლება გაკეთდეს მრუდის სახით, რომელიც მდებარეობს ორგანზომილებიან კოორდინატულ სისტემაში.

განვიხილოთ სინუსისა და კოსინუსების თვისებების შედარებითი ცხრილი:

სინუსური ტალღა	კოსინუსი
y = sinx	y = cos x
ოძ [-1; 1]	ოძ [-1; 1]
sin x = 0, x = πk-სთვის, სადაც k ϵ Z	cos x = 0, x = π/2 + πk, სადაც k ϵ Z
sin x = 1, x = π/2 + 2πk, სადაც k ε Z	cos x = 1, x = 2πk-ზე, სადაც k ϵ Z
sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk, სადაც k ε Z	cos x = - 1, x = π + 2πk, სადაც k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, ანუ ფუნქცია კენტია	cos (-x) = cos x, ანუ ფუნქცია ლუწია
	ფუნქცია პერიოდულია, ყველაზე პატარა პერიოდი არის 2π
sin x › 0, x ეკუთვნის პირველ და მე-2 მეოთხედებს ან 0°-დან 180°-მდე (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x ეკუთვნის I და IV მეოთხედებს ან 270°-დან 90°-მდე (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, x მიეკუთვნება მესამე და მეოთხე მეოთხედს ან 180°-დან 360°-მდე (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x ეკუთვნის მე-2 და მე-3 მეოთხედებს ან 90°-დან 270°-მდე (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
იზრდება ინტერვალით [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	იზრდება ინტერვალით [-π + 2πk, 2πk]
მცირდება ინტერვალებით [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	მცირდება ინტერვალებით
წარმოებული (sin x)’ = cos x	წარმოებული (cos x)’ = - sin x

იმის დადგენა, არის თუ არა ფუნქცია ლუწი თუ არა, ძალიან მარტივია. საკმარისია წარმოვიდგინოთ ტრიგონომეტრიული წრე ტრიგონომეტრიული სიდიდეების ნიშნებით და გონებრივად „დაკეცოთ“ გრაფიკი OX ღერძის მიმართ. თუ ნიშნები ერთმანეთს ემთხვევა, ფუნქცია ლუწია, წინააღმდეგ შემთხვევაში – კენტი.

რადიანების შემოღება და სინუსური და კოსინუსური ტალღების ძირითადი თვისებების ჩამოთვლა საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ შემდეგი ნიმუში:

ფორმულის სისწორის შემოწმება ძალიან მარტივია. მაგალითად, x = π/2-ისთვის, სინუსი არის 1, ისევე როგორც x = 0-ის კოსინუსი. შემოწმება შეიძლება განხორციელდეს ცხრილების კონსულტაციის ან მოცემული მნიშვნელობებისთვის ფუნქციის მრუდების მიკვლევით.

ტანგენსოიდების და კოტანგენცოიდების თვისებები

ტანგენტისა და კოტანგენტის ფუნქციების გრაფიკები მნიშვნელოვნად განსხვავდება სინუსური და კოსინუსური ფუნქციებისგან. tg და ctg მნიშვნელობები ერთმანეთის საპასუხოა.

Y = tan x.
ტანგენსი მიდრეკილია y-ის მნიშვნელობებზე x = π/2 + πk, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
ტანგენტოიდის ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდია π.
Tg (- x) = - tg x, ანუ ფუნქცია კენტია.
Tg x = 0, x = πk-სთვის.
ფუნქცია იზრდება.
Tg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (— π/2 + πk, πk).
წარმოებული (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

განვიხილოთ კოტანგენტოიდის გრაფიკული გამოსახულება ქვემოთ მოცემულ ტექსტში.

კოტანგენტოიდების ძირითადი თვისებები:

Y = cot x.
სინუსის და კოსინუსური ფუნქციებისგან განსხვავებით, ტანგენტოიდში Y-ს შეუძლია მიიღოს ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის მნიშვნელობები.
კოტანგენტოიდი მიდრეკილია y მნიშვნელობებისკენ x = πk-ზე, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
კოტანგენტოიდის ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდია π.
Ctg (- x) = - ctg x, ანუ ფუნქცია კენტია.
Ctg x = 0, x = π/2 + πk-სთვის.
ფუნქცია მცირდება.
Ctg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (π/2 + πk, πk).
წარმოებული (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x სწორია

ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა მივცეთ კუთხისა და რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება ტრიგონომეტრიაში. აქ ვისაუბრებთ აღნიშვნებზე, მოვიყვანთ ჩანაწერების მაგალითებს და მივიღებთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს. დასასრულს, მოდით გავავლოთ პარალელი სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებებს შორის ტრიგონომეტრიასა და გეომეტრიაში.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტება

ვნახოთ, როგორ ყალიბდება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის იდეა სასკოლო მათემატიკის კურსში. გეომეტრიის გაკვეთილებზე მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება. მოგვიანებით კი შესწავლილია ტრიგონომეტრია, რომელიც საუბრობს ბრუნვის კუთხისა და რიცხვის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე. მოდით წარმოვადგინოთ ყველა ეს განმარტება, მოვიყვანოთ მაგალითები და გავაკეთოთ საჭირო კომენტარები.

მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში

გეომეტრიის კურსიდან ჩვენ ვიცით მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები. ისინი მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობით. მოდით მივცეთ მათი ფორმულირებები.

განმარტება.

მახვილი კუთხის სინუსი მართკუთხა სამკუთხედშიარის მოპირდაპირე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის კოსინუსიარის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი- ეს არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსი- ეს არის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს.

იქვეა შემოტანილი სინუს, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის აღნიშვნები - შესაბამისად sin, cos, tg და ctg.

მაგალითად, თუ ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი C მართი კუთხით, მაშინ A მწვავე კუთხის სინუსი უდრის BC მოპირდაპირე მხარის შეფარდებას AB ჰიპოტენუზასთან, ანუ sin∠A=BC/AB.

ეს განმარტებები საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მწვავე კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობები მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან, აგრეთვე სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის ცნობილი მნიშვნელობებიდან. კოტანგენსი და ერთ-ერთი გვერდის სიგრძე მეორე მხარის სიგრძის საპოვნელად. მაგალითად, თუ ვიცოდით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში AC ფეხი უდრის 3-ს და ჰიპოტენუზა AB უდრის 7-ს, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ A მწვავე კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა განმარტებით: cos∠A=AC/ AB=3/7.

ბრუნვის კუთხე

ტრიგონომეტრიაში ისინი იწყებენ კუთხის უფრო ფართო ყურებას - შემოაქვთ ბრუნვის კუთხის კონცეფცია. ბრუნვის კუთხის სიდიდე, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება 0-დან 90 გრადუსამდე ბრუნვის კუთხე გრადუსებში (და რადიანებში) შეიძლება გამოისახოს ნებისმიერი რეალური რიცხვით −∞-დან +∞-მდე.

ამ თვალსაზრისით, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები მოცემულია არა მწვავე კუთხის, არამედ თვითნებური ზომის კუთხის - ბრუნვის კუთხის. ისინი მოცემულია A 1 წერტილის x და y კოორდინატების მეშვეობით, სადაც ე.წ. საწყისი წერტილი A(1, 0) მიდის O წერტილის გარშემო α კუთხით ბრუნვის შემდეგ - მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის დასაწყისი. და ერთეული წრის ცენტრი.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის სინუსიα არის A 1 წერტილის ორდინატი, ანუ sinα=y.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოსინუსიα ეწოდება A 1 წერტილის აბსცისა, ანუ cosα=x.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის ტანგენსიα არის A 1 წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან, ანუ tanα=y/x.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოტანგენსიα არის A 1 წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან, ანუ ctgα=x/y.

სინუსი და კოსინუსი განსაზღვრულია ნებისმიერი α კუთხისთვის, ვინაიდან ყოველთვის შეგვიძლია განვსაზღვროთ წერტილის აბსცისა და ორდინატი, რომელიც მიიღება საწყისი წერტილის α კუთხით ბრუნვით. მაგრამ ტანგენსი და კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული რომელიმე კუთხისთვის. ტანგენსი არ არის განსაზღვრული α კუთხისთვის, რომლებზეც საწყისი წერტილი მიდის წერტილამდე ნულოვანი აბსცისით (0, 1) ან (0, −1), და ეს ხდება 90°+180° k, k∈Z (π) კუთხეებზე. /2+π·კ რად). მართლაც, ბრუნვის ასეთი კუთხით გამოხატვას tgα=y/x აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. რაც შეეხება კოტანგენტს, ის არ არის განსაზღვრული α კუთხეებისთვის, რომლებშიც საწყისი წერტილი მიდის წერტილამდე ნულოვანი ორდინატით (1, 0) ან (−1, 0), და ეს ხდება 180° k, k ∈Z კუთხეებისთვის. (π·კ რად).

ასე რომ, სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი ბრუნვის კუთხისთვის, ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), ხოლო კოტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა 180° · k , k∈Z (π·k რად).

განმარტებები მოიცავს ჩვენთვის უკვე ცნობილ აღნიშვნებს sin, cos, tg და ctg, ისინი ასევე გამოიყენება ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის აღსანიშნავად (ზოგჯერ შეგიძლიათ იპოვოთ აღნიშვნები tan და cot, რომლებიც შეესაბამება ტანგენტს და კოტანგენტს). . ასე რომ, 30 გრადუსიანი ბრუნვის კუთხის სინუსი შეიძლება დაიწეროს, როგორც sin30°, ჩანაწერები tg(−24°17′) და ctgα შეესაბამება ბრუნვის კუთხის ტანგენტს −24 გრადუსი 17 წუთი და კოტანგენსს ბრუნვის კუთხის α. . შეგახსენებთ, რომ კუთხის რადიანის ზომის დაწერისას აღნიშვნა „რად“ ხშირად გამოტოვებულია. მაგალითად, სამი პი რადის ბრუნვის კუთხის კოსინუსი ჩვეულებრივ აღინიშნება cos3·π.

ამ პუნქტის დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ბრუნვის კუთხის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე საუბრისას ხშირად გამოტოვებულია ფრაზა „ბრუნის კუთხე“ ან სიტყვა „ბრუნვა“. ანუ, ფრაზის ნაცვლად "ბრუნვის კუთხის ალფა სინუსი", ჩვეულებრივ გამოიყენება ფრაზა "ალფა კუთხის სინუსი" ან, უფრო მოკლე, "სინუს ალფა". იგივე ეხება კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს.

ჩვენ ასევე ვიტყვით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება 0-დან 90 გრადუსამდე ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. ჩვენ ამას გავამართლებთ.

ნომრები

განმარტება.

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი t არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს t რადიანებში, შესაბამისად.

მაგალითად, 8·π რიცხვის კოსინუსი განსაზღვრებით არის რიცხვი, რომელიც ტოლია 8·π rad კუთხის კოსინუსს. ხოლო 8·π rad კუთხის კოსინუსი უდრის ერთს, შესაბამისად, 8·π რიცხვის კოსინუსი უდრის 1-ს.

არსებობს კიდევ ერთი მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის დასადგენად. ის მდგომარეობს იმაში, რომ თითოეული რეალური რიცხვი t ასოცირდება ერთეულ წრის წერტილთან, რომლის ცენტრია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის საწყისთან, ხოლო სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატებით. მოდით შევხედოთ ამას უფრო დეტალურად.

მოდით ვნახოთ, როგორ მყარდება კორესპონდენცია წრეზე რეალურ რიცხვებსა და წერტილებს შორის:

რიცხვს 0 ენიჭება საწყისი წერტილი A(1, 0);
დადებითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეული წრის წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრის გასწვრივ ამოვალთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით და ვივლით t სიგრძის გზას;
უარყოფითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეული წრის წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრის გასწვრივ ამოვალთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის მიმართულებით და ვივლით სიგრძის |t| .

ახლა გადავდივართ t რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებზე. დავუშვათ, რომ რიცხვი t შეესაბამება A 1 წრის წერტილს (x, y) (მაგალითად, რიცხვი &pi/2; შეესაბამება A 1 (0, 1) წერტილს).

განმარტება.

რიცხვის სინუსი t არის წერტილის ორდინატი ერთეულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება t რიცხვს, ანუ sint=y.

განმარტება.

რიცხვის კოსინუსი t ეწოდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისა, ანუ ღირებულება=x.

განმარტება.

რიცხვის ტანგენტი t არის ორდინატის შეფარდება წერტილის აბსცისასთან ერთეულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება t რიცხვს, ანუ tgt=y/x. სხვა ეკვივალენტურ ფორმულირებაში, t რიცხვის ტანგენსი არის ამ რიცხვის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან, ანუ tgt=sint/cost.

განმარტება.

რიცხვის კოტანგენსი t არის აბსცისის შეფარდება წერტილის ორდინატთან ერთეულ წრეზე t რიცხვის შესაბამისი, ანუ ctgt=x/y. კიდევ ერთი ფორმულირება ასეთია: t რიცხვის ტანგენსი არის t რიცხვის კოსინუსის შეფარდება t რიცხვის სინუსთან: ctgt=cost/sint.

აქვე აღვნიშნავთ, რომ ახლახან მოცემული განმარტებები შეესაბამება ამ პუნქტის დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მართლაც, t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილი ემთხვევა წერტილს, რომელიც მიღებულ იქნა საწყისი წერტილის t რადიანების კუთხით ბრუნვით.

ჯერ კიდევ ღირს ამ პუნქტის გარკვევა. ვთქვათ, გვაქვს ჩანაწერი sin3. როგორ გავიგოთ, საუბარია 3 რიცხვის სინუსზე თუ 3 რადიანის ბრუნვის კუთხის სინუსზე? ეს ჩვეულებრივ ნათელია კონტექსტიდან, წინააღმდეგ შემთხვევაში მას არ აქვს ფუნდამენტური მნიშვნელობა.

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

წინა პარაგრაფში მოცემული განმარტებების მიხედვით, α ბრუნვის თითოეული კუთხე შეესაბამება ძალიან სპეციფიკურ მნიშვნელობას sinα, ისევე როგორც cosα მნიშვნელობას. გარდა ამისა, ბრუნვის ყველა კუთხე, გარდა 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) შეესაბამება tgα მნიშვნელობებს და მნიშვნელობები 180°k გარდა, k∈Z (πk rad ) – მნიშვნელობებს ctgα-ს. ამიტომ sinα, cosα, tanα და ctgα არის α კუთხის ფუნქციები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის კუთხური არგუმენტის ფუნქციები.

ანალოგიურად შეგვიძლია ვისაუბროთ რიცხვითი არგუმენტის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე. მართლაც, თითოეული რეალური რიცხვი t შეესაბამება ძალიან სპეციფიკურ მნიშვნელობას sint, ისევე როგორც ღირებულება. გარდა ამისა, ყველა რიცხვი, გარდა π/2+π·k, k∈Z შეესაბამება tgt მნიშვნელობებს, ხოლო რიცხვები π·k, k∈Z - ctgt მნიშვნელობებს.

ფუნქციებს სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა, საქმე გვაქვს კუთხოვანი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან თუ რიცხვითი არგუმენტის. წინააღმდეგ შემთხვევაში, დამოუკიდებელი ცვლადი შეიძლება მოვიაზროთ როგორც კუთხის საზომი (კუთხური არგუმენტი) და რიცხვითი არგუმენტი.

თუმცა სკოლაში ძირითადად ვსწავლობთ რიცხვით ფუნქციებს, ანუ ფუნქციებს, რომელთა არგუმენტები, ისევე როგორც შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები, არის რიცხვები. ამიტომ, თუ კონკრეტულად ვსაუბრობთ ფუნქციებზე, მაშინ მიზანშეწონილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციები რიცხვითი არგუმენტების ფუნქციებად განვიხილოთ.

გეომეტრიისა და ტრიგონომეტრიის განმარტებებს შორის კავშირი

თუ განვიხილავთ α ბრუნვის კუთხეს 0-დან 90 გრადუსამდე, მაშინ ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები ტრიგონომეტრიის კონტექსტში სრულად შეესაბამება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს. მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში, რომლებიც მოცემულია გეომეტრიის კურსში. გავამართლოთ ეს.

მოდით გამოვსახოთ ერთეული წრე მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oxy. მოდი აღვნიშნოთ საწყისი წერტილი A(1, 0) . მოვატრიალოთ ის α კუთხით, რომელიც მერყეობს 0-დან 90 გრადუსამდე, მივიღებთ A 1 წერტილს (x, y). მოდით ჩამოვაგდოთ A 1 H პერპენდიკულარული A 1 წერტილიდან Ox ღერძზე.

ადვილი დასანახია, რომ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 OH კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, ამ კუთხის მიმდებარე ფეხის OH სიგრძე უდრის A 1 წერტილის აბსცისას, ანუ |OH. |=x, A 1 H კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ |A 1 H|=y და ჰიპოტენუზის OA 1 სიგრძე უდრის ერთს, ვინაიდან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი. შემდეგ, გეომეტრიის განმარტებით, მართკუთხა სამკუთხედში α მწვავე კუთხის სინუსი A 1 OH უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან, ანუ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. ხოლო ტრიგონომეტრიის განმარტებით, α ბრუნვის კუთხის სინუსი უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ sinα=y. ეს გვიჩვენებს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსის განსაზღვრა უდრის ბრუნვის α კუთხის სინუსის განსაზღვრას, როდესაც α არის 0-დან 90 გრადუსამდე.

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ α მწვავე კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება α ბრუნვის კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს.

ბიბლიოგრაფია.

გეომეტრია. 7-9 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [ლ. ს.ატანასიანი, ვ.ფ.ბუტუზოვი, ს.ბ.კადომცევი და სხვ.]. - მე-20 გამოცემა. მ.: განათლება, 2010. - 384გვ.: ავად. - ISBN 978-5-09-023915-8.
პოგორელოვი A.V.გეომეტრია: სახელმძღვანელო. 7-9 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A.V. Pogorelov. - მე-2 გამოცემა - მ.: განათლება, 2001. - 224 გვ.: ავად. - ISBN 5-09-010803-X.
ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები: სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის მე-9 კლასის მოსწავლეებისთვის / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორის რედაქტორი O.N. Golovin - 4th ed. მ.: განათლება, 1969 წ.
Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საშ. სკოლა/იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky - M.: განათლება, 1990. - 272 გვ.: ISBN 5-09-002727-7
Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn და სხვ. რედ. A. N. Kolmogorov - 14th ed - M.: განათლება, 2004. - 384 pp.
მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი. 2 ნაწილად: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-4 გამოცემა, დაამატეთ. - მ.: მნემოსინე, 2007. - 424 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-00792-0.
Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები /[იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედაქტორი A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - I .: განათლება, 2010.- 368გვ.: ავადმყოფი.- ISBN 978-5-09-022771-1.
ბაშმაკოვი M.I.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო. 10-11 კლასებისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 1993. - 351გვ.: ავად. - ISBN 5-09-004617-4.
გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.