Եկեք նորից դիմենք Նկար 53-ին: Գնդակը O կետից (հավասարակշռության դիրք) տեղափոխելով B կետ, ձգում ենք զսպանակը: Միաժամանակ մենք որոշակի աշխատանք ենք կատարում՝ հաղթահարելու նրա առաձգականության ուժը, որի շնորհիվ զսպանակը ձեռք է բերում պոտենցիալ էներգիա։ Եթե դուք այժմ բաց թողնեք գնդակը, ապա երբ այն մոտենում է O կետին, զսպանակի դեֆորմացիան և ճոճանակի պոտենցիալ էներգիան կնվազեն, իսկ արագությունն ու կինետիկ էներգիան կավելանան:
Ենթադրենք, որ ճոճանակի շարժման ժամանակ շփման ուժերը հաղթահարելու էներգիայի կորուստը չնչին է։ Այնուհետև, համաձայն էներգիայի պահպանման օրենքի, ճոճանակի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան (այսինքն՝ E p + E k) ժամանակի ցանկացած պահի կարելի է համարել նույնը և հավասար այն պոտենցիալ էներգիային, որը մենք սկզբում հաղորդեցինք աղբյուրին, ձգելով այն OB հատվածի երկարությամբ: Այս դեպքում ճոճանակը կարող է տատանվել այնքան ժամանակ, որքան ցանկալի է, հաստատուն ամպլիտուդով, որը հավասար է OB-ին:
Այդպես կլիներ, եթե շարժման ընթացքում էներգիայի կորուստներ չլինեին։
Բայց իրականում էներգիայի կորուստ միշտ կա։ Մեխանիկական էներգիան ծախսվում է, օրինակ, օդի դիմադրության ուժերը հաղթահարելու աշխատանքներ կատարելու վրա՝ վերածվելով ներքին էներգիայի։ Տատանումների ամպլիտուդը աստիճանաբար նվազում է, իսկ որոշ ժամանակ անց տատանումները դադարում են։ Նման տատանումները կոչվում են խամրված (նկ. 66):
Բրինձ. 66. Ջրում և օդում տեղի ունեցող ազատ տատանումների ամպլիտուդության գրաֆիկները ժամանակի համեմատ
Որքան մեծ է շարժման դիմադրությունը, այնքան ավելի արագ են դադարում թրթռումները: Օրինակ՝ թրթռումները ջրում ավելի արագ են քայքայվում, քան օդում (նկ. 66, ա, բ):
Մինչ այժմ մենք համարում էինք ազատ տատանումներ, այսինքն՝ տատանումներ, որոնք տեղի են ունենում սկզբնական էներգիայի պաշարի պատճառով:
Ազատ տատանումները միշտ թուլանում են, քանի որ ի սկզբանե տատանվող համակարգին տրվող էներգիայի ողջ մատակարարումը, ի վերջո, անցնում է աշխատանքի՝ հաղթահարելու շփման ուժերը և միջավայրի դիմադրությունը (այսինքն՝ մեխանիկական էներգիան վերածվում է ներքին էներգիայի): Հետեւաբար, անվճար թրթռումները գործնականում գրեթե ոչ մի կիրառություն չունեն:
Որպեսզի տատանումները չխոնավվեն, անհրաժեշտ է լրացնել տատանումների յուրաքանչյուր ժամանակահատվածում կորցրած էներգիան։ Դա կարելի է անել՝ ազդելով տատանվող մարմնի վրա՝ պարբերաբար փոփոխվող ուժով։ Օրինակ, ամեն անգամ ճոճանակը իր թրթռումներով ժամանակին հրելով, կարող եք ապահովել, որ թրթռումները չթուլանան:
- Մարմնի կողմից արտաքին պարբերաբար փոփոխվող ուժի ազդեցությամբ կատարվող տատանումները կոչվում են հարկադիր տատանումներ
Արտաքին պարբերաբար փոփոխվող ուժը, որն առաջացնում է այդ տատանումները, կոչվում է հարկադիր ուժ.
Եթե պարբերաբար փոփոխվող ստիպող ուժը սկսում է գործել անշարժ ճոճանակի վրա, ապա որոշ ժամանակով ճոճանակի հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը կաճի, այսինքն՝ յուրաքանչյուր հաջորդ տատանման ամպլիտուդն ավելի մեծ կլինի, քան նախորդը: Ամպլիտուդության աճը կդադարի, երբ շփման ուժը հաղթահարելու համար ճոճանակով կորցրած էներգիան հավասարվի դրսից ստացած էներգիային (շարժիչ ուժի աշխատանքի շնորհիվ):
Շատ դեպքերում հարկադիր տատանումների մշտական հաճախականությունը հաստատվում է ոչ թե անմիջապես, այլ դրանց սկսվելուց որոշ ժամանակ անց:
Երբ հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը և հաճախականությունը դադարում են փոխվել, ասում են, որ տատանումները հաստատված են:
Հաստատուն հարկադիր տատանումների հաճախականությունը հավասար է շարժիչ ուժի հաճախականությանը.
Հարկադիր տատանումները կարող են իրականացվել նույնիսկ այն մարմինների կողմից, որոնք տատանողական համակարգեր չեն, օրինակ՝ կարի մեքենայի ասեղը, ներքին այրման շարժիչի մխոցները և շատ ուրիշներ։ Նման մարմինների թրթռումները տեղի են ունենում նաև շարժիչ ուժի հաճախականությամբ։
Հարկադիր տատանումները անխափան են: Դրանք տեղի են ունենում այնքան ժամանակ, քանի դեռ գործում է պարտադրող ուժը:
Հարցեր
- Ի՞նչ կարելի է ասել ժամանակի ցանկացած պահի տատանվող ճոճանակի ընդհանուր մեխանիկական էներգիայի մասին՝ ենթադրելով, որ էներգիայի կորուստ չկա: Ո՞ր օրենքի համաձայն կարելի է դա արձանագրել։
- Ինչպե՞ս է ժամանակի ընթացքում փոխվում իրական պայմաններում տեղի ունեցող ազատ տատանումների ամպլիտուդը: Ինչո՞վ է պայմանավորված այս փոփոխությունը։
- Որտե՞ղ կդադարի ճոճանակն ավելի արագ տատանվել՝ օդո՞ւմ, թե՞ ջրում: Ինչո՞ւ։ (Էներգիայի սկզբնական պաշարը երկու դեպքում էլ նույնն է):
- Հնարավո՞ր է ազատ տատանումները չխոնարհվել: Ինչո՞ւ։ Ի՞նչ պետք է արվի՝ ապահովելու համար, որ տատանումները չխոնավվեն:
- Ի՞նչ կարելի է ասել կայուն վիճակում հարկադիր տատանումների հաճախականության և շարժիչ ուժի հաճախականության մասին։
- Կարո՞ղ են այն մարմինները, որոնք տատանողական համակարգ չեն հանդիսանում, կատարել հարկադիր տատանումներ: Բերեք օրինակներ։
- Որքա՞ն ժամանակ են տեղի ունենում հարկադիր տատանումները:
Վարժություն 25
Հարկադիր թրթռումներ թրթռումներ, որոնք տեղի են ունենում ցանկացած համակարգում փոփոխական արտաքին ուժի ազդեցությամբ (օրինակ՝ հեռախոսի մեմբրանի թրթռումներ՝ փոփոխական մագնիսական դաշտի ազդեցության տակ, մեխանիկական կառուցվածքի թրթռումներ՝ փոփոխական բեռի ազդեցության տակ և այլն)։ Ռազմական համակարգի բնույթը որոշվում է ինչպես արտաքին ուժի բնույթով, այնպես էլ հենց համակարգի հատկություններով: Պարբերական արտաքին ուժի գործողության սկզբում V. c-ի բնույթը փոխվում է (մասնավորապես, V. c.-ն պարբերական չեն), և միայն որոշ ժամանակ անց հաստատվում են V. c համակարգ, որի ժամանակաշրջանը հավասար է արտաքին ուժի ժամանակաշրջանին (հաստատուն VC.): Տատանողական համակարգում լարման հաստատումը տեղի է ունենում որքան արագ, այնքան մեծ է տատանումների թուլացումը այս համակարգում: Մասնավորապես, գծային տատանողական համակարգերում (տես Տատանողական համակարգեր), երբ արտաքին ուժը միացված է, համակարգում միաժամանակ առաջանում են ազատ (կամ բնական) տատանումներ և տատանումներ, և այդ տատանումների ամպլիտուդները սկզբնական պահին հավասար են, և փուլերը հակառակ են ( բրինձ.
). Ազատ տատանումների աստիճանական թուլացումից հետո համակարգում մնում են միայն կայուն վիճակի տատանումները։ VK-ի ամպլիտուդը որոշվում է գործող ուժի ամպլիտուդիայով և համակարգում թուլացումով: Եթե թուլացումը փոքր է, ապա լարման ալիքի ամպլիտուդը զգալիորեն կախված է գործող ուժի հաճախականության և համակարգի բնական տատանումների հաճախականության հարաբերությունից։ Քանի որ արտաքին ուժի հաճախականությունը մոտենում է համակարգի բնական հաճախականությանը, VK-ի ամպլիտուդը կտրուկ մեծանում է. առաջանում է ռեզոնանս: Ոչ գծային համակարգերում (տես Ոչ գծային համակարգեր) բաժանումը անվճար և VK-ի միշտ չէ, որ հնարավոր է: Լիտ.:Խայկին Ս.Է., Մեխանիկայի ֆիզիկական հիմքերը, Մ., 1963։
Խորհրդային մեծ հանրագիտարան. - Մ.: Սովետական հանրագիտարան. 1969-1978 .
Տեսեք, թե ինչ են «Հարկադիր տատանումները» այլ բառարաններում.
Հարկադիր թրթռումներ- Հարկադիր թրթռումներ. Դրանց ամպլիտուդի կախվածությունը տարբեր թուլացման ժամանակ արտաքին ազդեցության հաճախականությունից. 1 թույլ թուլացում; 2 ուժեղ թուլացում; 3 կրիտիկական թուլացում. ՀԱՐԿԱԴՐՎԱԾ թրթռումներ, տատանումներ, որոնք տեղի են ունենում ցանկացած համակարգում... ... Պատկերազարդ հանրագիտարանային բառարան
հարկադիր տատանումներ- Արտաքին ընդհանրացված ուժի պարբերական ազդեցության տակ տեղի ունեցող տատանումներ. [Ոչ կործանարար փորձարկման համակարգ. Ոչ կործանարար փորձարկման տեսակները (մեթոդները) և տեխնոլոգիան. Տերմիններ և սահմանումներ (տեղեկատու): Մոսկվա 2003] հարկադրված... ... Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց
Հարկադիր տատանումները տատանումներ են, որոնք տեղի են ունենում ժամանակի ընթացքում փոփոխվող արտաքին ուժերի ազդեցության տակ։ Ինքնատատանումները հարկադիր տատանումներից տարբերվում են նրանով, որ վերջիններս առաջանում են պարբերական արտաքին ազդեցություններից և տեղի են ունենում այս ... Վիքիպեդիա
ՀԱՐԿԱԴՐՎԱԾ ԹՐԹՐԹՈՂՆԵՐ, թրթռումներ, որոնք առաջանում են ցանկացած համակարգում՝ պարբերաբար փոփոխվող արտաքին ազդեցությունների արդյունքում՝ ուժ մեխանիկական համակարգում, լարում կամ հոսանք՝ տատանվող շղթայում։ Հարկադիր տատանումները միշտ տեղի են ունենում... ... Ժամանակակից հանրագիտարան
Տիեզերական լ–ում առաջացող տատանումները. համակարգի ազդեցության տակ պարբերական ներք. ուժեր (օրինակ՝ հեռախոսի մեմբրանի թրթռումները փոփոխական մագնիսական դաշտի ազդեցության տակ, մեխանիկական կառուցվածքի թրթռումներ՝ փոփոխական բեռի ազդեցության տակ)։ Har r V. k-ը սահմանվում է որպես արտաքին: ստիպողաբար... Ֆիզիկական հանրագիտարան
Տիեզերական լ–ում առաջացող տատանումները. համակարգը փոփոխվող ազդեցության տակ ներք. ազդեցությունները (օրինակ՝ էլեկտրական շղթայում լարման և հոսանքի տատանումները, որոնք առաջանում են փոփոխական էմֆ-ի հետևանքով, մեխանիկական համակարգի թրթռումներ, որոնք առաջանում են փոփոխական բեռի հետևանքով): Վ.Կ.-ի կերպարը որոշվում է... ... Մեծ հանրագիտարանային պոլիտեխնիկական բառարան
Դրանք առաջանում են պարբերական արտաքին ազդեցությունների ազդեցության տակ գտնվող համակարգում (օրինակ՝ ճոճանակի հարկադիր տատանումները պարբերական ուժի ազդեցության տակ, հարկադիր տատանումները տատանողական շղթայում՝ պարբերական էլեկտրաշարժիչ ուժի ազդեցության տակ)։ Եթե…… Մեծ Հանրագիտարանային բառարան
Հարկադիր թրթռումներ- (թրթռում) – ուժի և (կամ) կինեմատիկական գրգռման հետևանքով առաջացած և ապահովված համակարգի տատանումներ (թրթռում): [ԳՕՍՏ 24346 80] Հարկադիր թրթռումները համակարգերի թրթռանքներն են, որոնք առաջանում են ժամանակի փոփոխվող բեռների գործողությունից: [Արդյունաբերություն... ... Շինանյութերի տերմինների, սահմանումների և բացատրությունների հանրագիտարան
- (Սահմանափակ թրթռումներ, հարկադիր թրթռումներ) մարմնի թրթռումներ, որոնք առաջանում են պարբերաբար գործող արտաքին ուժից. Եթե հարկադիր տատանումների ժամանակաշրջանը համընկնում է մարմնի բնական տատանումների ժամանակաշրջանի հետ, առաջանում է ռեզոնանսի երեւույթը։ Samoilov K.I.... ...Ծովային բառարան
ՀԱՐԿԱԴՐՎԱԾ թրթռումներ- (տես), որը առաջանում է ցանկացած համակարգում արտաքին փոփոխական ազդեցության ազդեցության տակ. դրանց բնույթը որոշվում է ինչպես արտաքին ազդեցության հատկություններով, այնպես էլ բուն համակարգի հատկություններով: Քանի որ արտաքին ազդեցության հաճախականությունը մոտենում է սեփական... Մեծ պոլիտեխնիկական հանրագիտարան
Դրանք առաջանում են պարբերական արտաքին ազդեցությունների ազդեցության տակ գտնվող համակարգում (օրինակ՝ ճոճանակի հարկադիր տատանումները պարբերական ուժի ազդեցությամբ, հարկադիր տատանումները տատանվող շղթայում՝ պարբերական էմֆ-ի ազդեցության տակ)։ Եթե հաճախականությունը... ... Հանրագիտարանային բառարան
Գրքեր
- Լիսեռի ոլորման հարկադիր թրթռումները, երբ հաշվի են առնում ամորտիզացիան, Ա.Պ. Ֆիլիպով, Վերարտադրվել է 1934 թվականի հրատարակության բնօրինակ հեղինակային ուղղագրությամբ (ԽՍՀՄ ԳԱ «Իզվեստիա» հրատարակչություն): ՄԵՋ… Կարգավիճակ՝ Մաթեմատիկա Հրատարակիչ՝ YOYO Media, Արտադրող՝ Yoyo Media,
- Ձողերի հարկադիր լայնակի թրթռումները հաշվի առնելով ամորտիզացիան, Ա.Պ. Ֆիլիպով, Վերարտադրվել է 1935 թվականի հրատարակության բնօրինակ հեղինակային ուղղագրությամբ (հրատարակչություն «Իզվեստիա ՍՍՀՄ ԳԱ»)... Կատեգորիա:
Ի տարբերություն ազատ տատանումների, երբ համակարգը ստանում է միայն մեկ անգամ (երբ համակարգը հեռացվում է), հարկադիր տատանումների դեպքում համակարգը շարունակաբար կլանում է այդ էներգիան արտաքին պարբերական ուժի աղբյուրից։ Այս էներգիան լրացնում է հաղթահարման վրա ծախսված կորուստները, և հետևաբար ընդհանուր ոչ-ը դեռ մնում է անփոփոխ։
Հարկադիր թրթռումները, ի տարբերություն ազատների, կարող են առաջանալ ցանկացած հաճախականությամբ: համընկնում է տատանողական համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժի հաճախականության հետ։ Այսպիսով, հարկադիր տատանումների հաճախականությունը որոշվում է ոչ թե բուն համակարգի հատկություններով, այլ արտաքին ազդեցության հաճախականությամբ։
Հարկադիր թրթիռների օրինակներ են մանկական ճոճանակի թրթռումները, ասեղի թրթռումները կարի մեքենայի մեջ, մխոցը մեքենայի շարժիչի բալոնում, խորդուբորդ ճանապարհով շարժվող մեքենայի զսպանակները և այլն։
Ռեզոնանս
ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ
Ռեզոնանս– սա հարկադիր տատանումների կտրուկ աճի երևույթն է, քանի որ շարժիչ ուժի հաճախականությունը մոտենում է տատանողական համակարգի բնական հաճախականությանը:
Ռեզոնանսը առաջանում է այն պատճառով, որ երբ արտաքին ուժը, ժամանակին գործելով ազատ թրթիռներով, միշտ ունի նույն ուղղությունը տատանվող մարմնից և դրական աշխատանք է կատարում. տատանվող մարմնի էներգիան մեծանում և մեծանում է։ Եթե արտաքին ուժը գործում է «չափից դուրս», ապա այդ ուժը հերթափոխով կատարում է բացասական և դրական աշխատանք, և արդյունքում համակարգի էներգիան փոքր-ինչ փոխվում է:
Նկար 1-ում ներկայացված է հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կախվածությունը շարժիչ ուժի հաճախականությունից: Կարելի է տեսնել, որ այս ամպլիտուդը հասնում է առավելագույնի որոշակի հաճախականության արժեքով, այսինքն. ժամը , որտեղ է տատանողական համակարգի բնական հաճախականությունը։ 1-ին և 2-րդ կորերը տարբերվում են շփման ուժի մեծությամբ: Ցածր շփման դեպքում (կոր 1) ռեզոնանսային կորն ունի սուր առավելագույն շփման ավելի բարձր ուժ (կոր 2), չկա այդպիսի սուր առավելագույն:
Առօրյա կյանքում հաճախ ենք հանդիպում ռեզոնանսի երեւույթին։ Եթե փողոցի երկայնքով ծանր բեռնատարի անցնելիս սենյակի պատուհանները սկսեցին դողալ, ապա դա նշանակում է, որ ապակու թրթռման բնական հաճախականությունը հավասար է մեքենայի թրթռման հաճախականությանը: Եթե ծովի ալիքները ռեզոնանսում են նավի ժամանակաշրջանի հետ, ապա գլորումը հատկապես ուժեղ է դառնում:
Ռեզոնանսային երևույթը պետք է հաշվի առնել կամուրջներ, շենքեր և այլ շինություններ նախագծելիս, որոնք թրթռում են ապրում բեռի տակ, հակառակ դեպքում որոշակի պայմաններում այդ կառույցները կարող են ոչնչացվել: Այնուամենայնիվ, ռեզոնանսը նույնպես կարող է օգտակար լինել։ Ռեզոնանսի ֆենոմենն օգտագործվում է ռադիոընդունիչը որոշակի հեռարձակման հաճախականության կարգավորելիս, ինչպես նաև շատ այլ դեպքերում։
Խնդիրների լուծման օրինակներ
ՕՐԻՆԱԿ 1
| Զորավարժություններ | Հորիզոնական ճոճանակի զսպանակի ծայրին, որի բեռնվածքը ունի 1 կգ զանգված, ազդում է փոփոխական ուժ, որի տատանումների հաճախականությունը 16 Հց է։ Արդյո՞ք ռեզոնանսը կնկատվի, եթե զսպանակի կոշտությունը 400 Ն/մ է: |
| Լուծում | Եկեք որոշենք տատանողական համակարգի բնական հաճախականությունը՝ օգտագործելով բանաձևը.
Քանի որ արտաքին ուժի հաճախականությունը հավասար չէ համակարգի բնական հաճախականությանը, ռեզոնանսի երեւույթը չի նկատվի։ |
| Պատասխանել | Ռեզոնանսային երեւույթը չի նկատվի։ |
ՀցՕՐԻՆԱԿ 2
| Զորավարժություններ | Կառքի առաստաղից 1 մ երկարությամբ թելի վրա կախված է փոքրիկ գնդիկ։ Ավտոմեքենայի ո՞ր արագությամբ է գնդակը հատկապես ուժեղ թրթռում անիվների ազդեցությամբ, որոնք բախվում են ռելսերի միացումներին: Ռելսի երկարությունը 12,5 մ. |
| Լուծում | Գնդակը հարկադիր տատանումներ է կատարում երկաթուղային հոդերի վրա անիվների հարվածների հաճախականությանը հավասար հաճախականությամբ. Եթե գնդակի չափերը փոքր են թելի երկարության համեմատ, ապա համակարգը կարելի է համարել տատանումների բնական հաճախականություն.
հարկադիր չխամրված տատանումների ամպլիտուդը ռեզոնանսի դեպքում առավելագույնն է, այսինքն. Երբ . Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել. |
Հարկադիր տատանումները այն տատանումներն են, որոնք տեղի են ունենում համակարգում, երբ դրա վրա գործում է արտաքին ստիպող, պարբերաբար փոփոխվող ուժ, որը կոչվում է շարժիչ ուժ:
Շարժիչ ուժի բնույթը (ժամանակային կախվածությունը) կարող է տարբեր լինել: Սա կարող է լինել ներդաշնակ օրենքի համաձայն փոփոխվող ուժ: Օրինակ, ձայնային ալիքը, որի աղբյուրը հարմարեցնող պատառաքաղն է, հարվածում է թմբկաթաղանթին կամ խոսափողի թաղանթին։ Օդի ճնշման ներդաշնակորեն փոփոխվող ուժը սկսում է գործել մեմբրանի վրա:
Շարժիչ ուժը կարող է լինել ցնցումների կամ կարճ իմպուլսների բնույթ: Օրինակ՝ չափահասը ճոճանակի վրա ճոճում է երեխային՝ պարբերաբար հրելով նրան այն պահին, երբ ճոճանակը հասնում է իր ծայրահեղ դիրքերից մեկին։
Մեր խնդիրն է պարզել, թե ինչպես է տատանողական համակարգը արձագանքում պարբերաբար փոփոխվող շարժիչ ուժի ազդեցությանը:
§ 1 Շարժիչ ուժը փոխվում է հարմոնիկ օրենքի համաձայն
F դիմադրել = - rv xև պարտադրող ուժ F դուրս = F 0 sin wt.
Նյուտոնի երկրորդ օրենքը գրվելու է հետևյալ կերպ.
(1) հավասարման լուծումը որոնվում է ձևով, որտեղ է (1) հավասարման լուծումը, եթե այն չուներ աջ կողմը: Երևում է, որ առանց աջ կողմի հավասարումը վերածվում է թուլացած տատանումների հայտնի հավասարման, որի լուծումն արդեն գիտենք։ Բավական երկար ժամանակում ազատ տատանումները, որոնք առաջանում են համակարգում, երբ այն հանվում է հավասարակշռության դիրքից, գործնականում կմեռնեն, և միայն երկրորդ անդամը կմնա հավասարման լուծման մեջ: Այս լուծումը մենք կփնտրենք ձևի մեջ
Եկեք խմբավորենք տերմինները այլ կերպ.
Այս հավասարությունը պետք է ճշմարիտ լինի t ցանկացած ժամանակ, ինչը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե սինուսի և կոսինուսի գործակիցները հավասար են զրոյի։
Այսպիսով, մարմինը, որի վրա գործում է շարժիչ ուժ, փոփոխվելով ներդաշնակ օրենքի համաձայն, կատարում է տատանողական շարժում՝ շարժիչ ուժի հաճախականությամբ։
Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք հարկադիր տատանումների ամպլիտուդության հարցը.
1 Հաստատուն վիճակի հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը ժամանակի ընթացքում չի փոխվում: (Համեմատեք ազատ խոնավ տատանումների ամպլիտուդի հետ):
2 Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդն ուղիղ համեմատական է շարժիչ ուժի ամպլիտուդին։
3 Ամպլիտուդը կախված է համակարգում շփումից (A-ն կախված է d-ից, իսկ խոնավացման գործակիցը d-ն իր հերթին կախված է ձգման գործակից r-ից): Որքան մեծ է շփումը համակարգում, այնքան փոքր է հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը:
4 Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը կախված է w շարժիչ ուժի հաճախականությունից։ Ինչպե՞ս: Եկեք ուսումնասիրենք A(w) ֆունկցիան:
W = 0-ում (տատանողական համակարգի վրա գործում է հաստատուն ուժ), մարմնի տեղաշարժը ժամանակի ընթացքում հաստատուն է (պետք է նկատի ունենալ, որ դա վերաբերում է կայուն վիճակին, երբ բնական տատանումները գրեթե մարել են):
· Երբ w ® ¥, ապա, ինչպես հեշտ է տեսնել, A ամպլիտուդը ձգտում է զրոյի:
· Ակնհայտ է, որ շարժիչ ուժի որոշակի հաճախականության դեպքում հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը կընդունի ամենամեծ արժեքը (տվյալ դ-ի համար): Շարժիչ ուժի հաճախականության որոշակի արժեքով հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կտրուկ աճի երեւույթը կոչվում է մեխանիկական ռեզոնանս։
Հետաքրքիր է, որ տատանողական համակարգի որակի գործոնն այս դեպքում ցույց է տալիս, թե F 0 հաստատուն ուժի ազդեցությամբ քանի անգամ է ռեզոնանսային ամպլիտուդը գերազանցում մարմնի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից։
Մենք տեսնում ենք, որ և՛ ռեզոնանսային հաճախականությունը, և՛ ռեզոնանսային ամպլիտուդը կախված են խոնավացման գործակից d. Երբ d-ն նվազում է մինչև զրոյի, ռեզոնանսային հաճախականությունը մեծանում է և ձգտում է դեպի w 0 համակարգի բնական տատանումների հաճախականությունը: Այս դեպքում ռեզոնանսային ամպլիտուդը մեծանում է և d = 0-ում այն անցնում է անսահմանության: Իհարկե, գործնականում տատանումների ամպլիտուդը չի կարող անսահման լինել, քանի որ իրական տատանողական համակարգերում միշտ գործում են դիմադրողական ուժեր։ Եթե համակարգն ունի ցածր թուլացում, ապա մոտավորապես կարող ենք ենթադրել, որ ռեզոնանսը տեղի է ունենում սեփական տատանումների հաճախականությամբ.
որտեղ դիտարկվող դեպքում փուլային տեղաշարժն է շարժիչ ուժի և մարմնի հավասարակշռության դիրքից տեղափոխման միջև:
Հեշտ է տեսնել, որ ուժի և տեղաշարժի միջև փուլային տեղաշարժը կախված է համակարգում առկա շփումից և արտաքին շարժիչ ուժի հաճախականությունից: Այս կախվածությունը ցույց է տրված նկարում: Հասկանալի է, որ երբ< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- դրական.
Իմանալով կախվածությունը անկյունից՝ կարելի է ձեռք բերել կախվածություն շարժիչ ուժի հաճախականությունից։
Արտաքին ուժի հաճախականություններում, որոնք զգալիորեն ցածր են բնական ուժից, տեղաշարժը մի փոքր հետ է մնում փուլային շարժիչ ուժից: Քանի որ արտաքին ուժի հաճախականությունը մեծանում է, այս փուլի հետաձգումը մեծանում է: Ռեզոնանսում (եթե փոքր է), փուլային տեղաշարժը դառնում է հավասար: Երբ >> տեղաշարժը և ուժային տատանումները տեղի են ունենում հակաֆազում: Այս կախվածությունն առաջին հայացքից կարող է տարօրինակ թվալ: Այս փաստը հասկանալու համար դիմենք էներգիայի փոխակերպումներին հարկադիր տատանումների գործընթացում։
§ 2 Էներգետիկ փոխակերպումներ
Ինչպես արդեն գիտենք, տատանումների ամպլիտուդը որոշվում է տատանումների համակարգի ընդհանուր էներգիայով։ Նախկինում ցույց էր տրվել, որ հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը ժամանակի ընթացքում մնում է անփոփոխ։ Սա նշանակում է, որ տատանողական համակարգի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան ժամանակի ընթացքում չի փոխվում։ Ինչո՞ւ։ Ի վերջո, համակարգը փակ չէ: Երկու ուժեր՝ արտաքին պարբերաբար փոփոխվող ուժը և դիմադրության ուժը, կատարում են աշխատանք, որը պետք է փոխի համակարգի ընդհանուր էներգիան:
Փորձենք պարզել, թե ինչ է կատարվում: Արտաքին շարժիչ ուժի հզորությունը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.
Մենք տեսնում ենք, որ տատանողական համակարգը էներգիայով սնուցող արտաքին ուժի ուժը համաչափ է տատանման ամպլիտուդիային։
Դիմադրության ուժի աշխատանքի շնորհիվ տատանողական համակարգի էներգիան պետք է նվազի՝ վերածվելով ներքինի։ Դիմադրության ուժի հզորությունը.
Ակնհայտ է, որ դիմադրության ուժի ուժը համաչափ է ամպլիտուդի քառակուսու հետ: Եկեք գծենք երկու կախվածությունը գրաֆիկի վրա:
Որպեսզի տատանումները կայուն լինեն (ամպլիտուդան ժամանակի ընթացքում չի փոխվում), արտաքին ուժի աշխատանքը ժամանակաշրջանում պետք է փոխհատուցի դիմադրության ուժի աշխատանքի պատճառով համակարգի էներգիայի կորուստը։ Հզորության գրաֆիկների հատման կետը ճշգրտորեն համապատասխանում է այս ռեժիմին: Պատկերացնենք, որ ինչ-ինչ պատճառներով հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը նվազել է։ Սա կհանգեցնի նրան, որ արտաքին ուժի ակնթարթային ուժն ավելի մեծ կլինի, քան կորուստների ուժը։ Դա կհանգեցնի տատանողական համակարգի էներգիայի ավելացմանը, իսկ տատանումների ամպլիտուդը կվերականգնի իր նախկին արժեքը։
Նմանապես կարելի է համոզվել, որ տատանումների ամպլիտուդության պատահական աճի դեպքում ուժային կորուստները կգերազանցեն արտաքին ուժի հզորությունը, ինչը կհանգեցնի համակարգի էներգիայի նվազմանը և, հետևաբար, ամպլիտուդի նվազում.
Վերադառնանք տեղաշարժի և ռեզոնանսում շարժիչ ուժի փուլային փոփոխության հարցին: Մենք արդեն ցույց ենք տվել, որ տեղաշարժը հետ է մնում, և, հետևաբար, ուժը տանում է տեղաշարժը, ըստ . Մյուս կողմից, արագության պրոյեկցիան ներդաշնակ տատանումների գործընթացում միշտ առաջ է կոորդինատից . Սա նշանակում է, որ ռեզոնանսի ժամանակ արտաքին շարժիչ ուժը և արագությունը տատանվում են նույն փուլում։ Սա նշանակում է, որ դրանք ցանկացած պահի համատեղ ուղղորդվում են: Արտաքին ուժի աշխատանքը այս դեպքում միշտ դրական է, այն բոլորը գնում է էներգիայով լցնելու տատանողական համակարգը:
§ 3 Ոչ սինուսոիդային պարբերական ազդեցություն
Օքսիլյատորի հարկադիր տատանումները հնարավոր են ցանկացած պարբերական արտաքին ազդեցության տակ, ոչ միայն սինուսոիդային: Այս դեպքում հաստատված տատանումները, ընդհանուր առմամբ, չեն լինի սինուսոիդային, այլ կներկայացնեն պարբերական շարժում՝ արտաքին ազդեցության ժամանակաշրջանին հավասար ժամանակաշրջանով։
Արտաքին ազդեցությունը կարող է լինել, օրինակ, հաջորդական ցնցումները (հիշեք, թե ինչպես է մեծահասակը «ժայռում» ճոճանակի վրա նստած երեխային): Եթե արտաքին ցնցումների ժամանակաշրջանը համընկնում է բնական տատանումների ժամանակաշրջանի հետ, ապա համակարգում կարող է առաջանալ ռեզոնանս։ Տատանումները կլինեն գրեթե սինուսոիդային։ Յուրաքանչյուր հրում համակարգին տրվող էներգիան լրացնում է շփման պատճառով կորցրած համակարգի ընդհանուր էներգիան: Հասկանալի է, որ այս դեպքում հնարավոր են տարբերակներ. եթե մղման ժամանակ տրվող էներգիան հավասար է կամ գերազանցում է շփման կորուստները մեկ ժամանակահատվածում, ապա տատանումները կա՛մ կայուն կլինեն, կա՛մ դրանց ծավալը կավելանա։ Սա հստակ տեսանելի է փուլային դիագրամում:
Ակնհայտ է, որ ռեզոնանսը հնարավոր է նաև այն դեպքում, երբ ցնցումների կրկնության շրջանը բնական տատանումների ժամանակաշրջանի բազմապատիկն է։ Դա անհնար է արտաքին ազդեցության սինուսոիդային բնույթով:
Մյուս կողմից, նույնիսկ եթե ցնցումների հաճախականությունը համընկնում է բնական հաճախականության հետ, ռեզոնանսը կարող է չնկատվել: Եթե տվյալ ժամանակահատվածում շփման կորուստները գերազանցեն համակարգի կողմից մղման ժամանակ ստացած էներգիան, ապա համակարգի ընդհանուր էներգիան կնվազի, իսկ տատանումները կխոնավանան:
§ 4 Պարամետրային ռեզոնանս
Արտաքին ազդեցությունը տատանողական համակարգի վրա կարող է կրճատվել մինչև բուն տատանողական համակարգի պարամետրերի պարբերական փոփոխությունները: Այս կերպ գրգռված տատանումները կոչվում են պարամետրային, իսկ ինքնին մեխանիզմը կոչվում է պարամետրային ռեզոնանս .
Նախ կփորձենք պատասխանել այն հարցին, թե հնարավո՞ր է համակարգում առկա փոքր տատանումները պարբերաբար որոշակիորեն փոխելով դրա որոշ պարամետրեր:
Որպես օրինակ, հաշվի առեք մի մարդու, որը ճոճվում է ճոճանակի վրա: «ճիշտ» պահերին ոտքերը թեքելով և ուղղելով՝ նա իրականում փոխում է ճոճանակի երկարությունը։ Ծայրահեղ դիրքերում մարդը կծկվում է, դրանով իսկ մի փոքր իջեցնելով տատանողական համակարգի ծանրության կենտրոնը միջին դիրքում, մարդը ուղղվում է ՝ բարձրացնելով համակարգի ծանրության կենտրոնը:
Հասկանալու համար, թե ինչու է մարդը միաժամանակ ճոճվում, հաշվի առեք ճոճանակի վրա գտնվող մարդու չափազանց պարզեցված մոդելը՝ սովորական փոքրիկ ճոճանակ, այսինքն՝ փոքր ծանրություն թեթև և երկար թելի վրա: Ծանրության կենտրոնի բարձրացումն ու իջեցումը մոդելավորելու համար մենք թելի վերին ծայրը կանցնենք փոքր անցքի միջով և կքաշենք թելը այն պահերին, երբ ճոճանակն անցնի հավասարակշռության դիրքը, և նույնքան կիջեցնենք թելը, երբ ճոճանակն անցնում է ծայրահեղ դիրքը.
Թելի լարվածության ուժի աշխատանքը մեկ ժամանակահատվածում (հաշվի առնելով, որ բեռը բարձրացվում և իջեցվում է երկու անգամ մեկ ժամանակահատվածում, և որ D. լ << լ):
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ փակագծերում ոչ այլ ինչ է, քան տատանողական համակարգի եռակի էներգիան: Ի դեպ, այս մեծությունը դրական է, հետևաբար, լարվածության ուժի աշխատանքը (մեր աշխատանքը) դրական է, այն հանգեցնում է համակարգի ընդհանուր էներգիայի ավելացմանը, հետևաբար և ճոճանակի ճոճմանը։
Հետաքրքիր է, որ էներգիայի հարաբերական փոփոխությունը որոշակի ժամանակահատվածում կախված չէ ճոճանակի թույլ կամ ուժեղ ճոճանակից: Սա շատ կարևոր է, և ահա թե ինչու. Եթե ճոճանակը չի «լցվում» էներգիայով, ապա յուրաքանչյուր շրջանի համար այն կկորցնի իր էներգիայի որոշակի մասը շփման ուժի պատճառով, և տատանումները կմահանան։ Իսկ որպեսզի տատանումների տիրույթը մեծանա, անհրաժեշտ է, որ ստացված էներգիան գերազանցի շփումը հաղթահարելու համար կորցրածը։ Եվ այս պայմանը, պարզվում է, նույնն է՝ և՛ փոքր ամպլիտուդի, և՛ մեծի համար։
Օրինակ, եթե մի ժամանակահատվածում ազատ տատանումների էներգիան նվազում է 6%-ով, ապա որպեսզի 1 մ երկարությամբ ճոճանակի տատանումները չխոնավանան, բավական է միջին դիրքում նրա երկարությունը փոքրացնել 1 սմ-ով և մեծացնել. այն նույն չափով ծայրահեղ դիրքում:
Վերադառնալով ճոճանակին. եթե դուք սկսեք ճոճվել, ապա կարիք չկա ավելի ու ավելի խորը կծկվել. անընդհատ նույն կերպ կծկվեք, և դուք կթռչեք ավելի ու ավելի բարձր:
*** Կրկին որակ!
Ինչպես արդեն ասացինք, տատանումների պարամետրային կուտակման համար պետք է պահպանվի մեկ պարբերության շփման DE > A պայմանը։
Գտնենք շփման ուժի կատարած աշխատանքը տվյալ ժամանակահատվածում
Երևում է, որ ճոճանակի բարձրացման հարաբերական չափը որոշվում է համակարգի որակի գործոնով:
§ 5 Ռեզոնանսի իմաստը
Հարկադիր տատանումները և ռեզոնանսը լայնորեն կիրառվում են տեխնիկայում, հատկապես ակուստիկայում, էլեկտրատեխնիկայում և ռադիոտեխնիկայում։ Ռեզոնանսը հիմնականում օգտագործվում է այն դեպքում, երբ տարբեր հաճախականությունների տատանումների մեծ շարքից մեկը ցանկանում է առանձնացնել որոշակի հաճախականության տատանումները: Ռեզոնանսը նույնպես օգտագործվում է շատ թույլ պարբերաբար կրկնվող մեծությունների ուսումնասիրության ժամանակ։
Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում ռեզոնանսը անցանկալի երեւույթ է, քանի որ այն կարող է հանգեցնել մեծ դեֆորմացիաների և կառույցների քայքայման։
§ 6 Խնդիրների լուծման օրինակներ
Խնդիր 1 Զսպանակային ճոճանակի հարկադիր տատանումները արտաքին սինուսոիդային ուժի ազդեցությամբ:
k = 10 Ն/մ կոշտությամբ զսպանակից կասեցվել է m = 10 գ զանգվածով բեռ և համակարգը տեղադրվել է մածուցիկ միջավայրում՝ r = 0,1 կգ/վ դիմադրության գործակիցով: Համեմատեք համակարգի բնական և ռեզոնանսային հաճախականությունները: Որոշեք ճոճանակի տատանումների ամպլիտուդը ռեզոնանսում F 0 = 20 մՆ ամպլիտուդով սինուսոիդային ուժի ազդեցության տակ:
Լուծում:
1 Տատանողական համակարգի բնական հաճախականությունը շփման բացակայության դեպքում ազատ թրթռումների հաճախականությունն է: Բնական ցիկլային հաճախականությունը հավասար է տատանումների հաճախականությանը։
2 Ռեզոնանսային հաճախականությունը արտաքին շարժիչ ուժի հաճախականությունն է, որի դեպքում հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը կտրուկ մեծանում է։ Ռեզոնանսային ցիկլային հաճախականությունը հավասար է , որտեղ է մարման գործակիցը հավասար է .
Այսպիսով, ռեզոնանսային հաճախականությունը կազմում է. Հեշտ է տեսնել, որ ռեզոնանսային հաճախականությունը պակաս է բնական հաճախականությունից: Պարզ է նաև, որ որքան ցածր է շփումը համակարգում (r), այնքան ռեզոնանսային հաճախականությունը մոտ է բնական հաճախականությանը։
3 Ռեզոնանսային ամպլիտուդն է
Առաջադրանք 2 Տատանողական համակարգի ռեզոնանսային ամպլիտուդը և որակի գործակիցը
m = 100 գ զանգվածով բեռը կախվել է k = 10 Ն/մ կոշտությամբ զսպանակից և համակարգը տեղադրվել է դիմադրության գործակից ունեցող մածուցիկ միջավայրում:
r = 0,02 կգ/վ: Որոշեք ճոճանակային համակարգի որակի գործակիցը և ճոճանակի տատանումների ամպլիտուդը ռեզոնանսում F 0 = 10 մՆ ամպլիտուդով սինուսոիդային ուժի ազդեցության տակ: Գտե՛ք ռեզոնանսային ամպլիտուդի և ստատիկ տեղաշարժի հարաբերությունը F 0 = 20 մՆ հաստատուն ուժի ազդեցության տակ և համեմատե՛ք այս հարաբերակցությունը որակի գործոնի հետ։
Լուծում:
1 Տատանողական համակարգի որակի գործակիցը հավասար է , որտեղ է լոգարիթմական մարման նվազումը:
Լոգարիթմական մարման նվազումը հավասար է .
Տատանողական համակարգի որակի գործոնի հայտնաբերում.
2 Ռեզոնանսային ամպլիտուդն է
3 Ստատիկ տեղաշարժը հաստատուն ուժի ազդեցությամբ F 0 = 10 mN հավասար է .
4 Ռեզոնանսային ամպլիտուդի և ստատիկ տեղաշարժի հարաբերակցությունը հաստատուն ուժի F 0 ազդեցության տակ հավասար է.
Հեշտ է տեսնել, որ այս հարաբերակցությունը համընկնում է տատանողական համակարգի որակի գործոնի հետ
Խնդիր 3 Ճառագայթի ռեզոնանսային տատանումներ
Էլեկտրաշարժիչի ծանրության ազդեցությամբ կոնսերտի բաքը, որի վրա այն տեղադրված է, թեքվել է . Շարժիչի արմատուրայի ո՞ր արագության դեպքում կարող է ռեզոնանսի վտանգ առաջանալ:
Լուծում:
1 Շարժիչի պատյանը և ճառագայթը, որի վրա այն տեղադրված է, պարբերաբար ցնցումներ են ունենում շարժիչի պտտվող խարիսխից և, հետևաբար, կատարում են հարկադիր տատանումներ ցնցումների հաճախականությամբ:
Ռեզոնանսը կնկատվի, երբ ցնցումների հաճախականությունը համընկնում է շարժիչի հետ ճառագայթի թրթռման բնական հաճախականության հետ: Անհրաժեշտ է գտնել ճառագայթ-շարժիչ համակարգի թրթռման բնական հաճախականությունը։
2 Ճառագայթային շարժիչի տատանողական համակարգի անալոգը կարող է լինել ուղղահայաց զսպանակավոր ճոճանակը, որի զանգվածը հավասար է շարժիչի զանգվածին։ Զսպանակային ճոճանակի տատանումների բնական հաճախականությունը հավասար է . Բայց զսպանակի կոշտությունը և շարժիչի զանգվածը հայտնի չեն: Ինչ պետք է անեմ?
3 Զսպանակային ճոճանակի հավասարակշռության դիրքում բեռի ձգողական ուժը հավասարակշռվում է զսպանակի առաձգական ուժով.
4 Գտեք շարժիչի արմատուրայի պտույտը, այսինքն. ցնցումների հաճախականությունը
Խնդիր 4 Զսպանակային ճոճանակի հարկադիր տատանումները պարբերական ցնցումների ազդեցության տակ։
m = 0,5 կգ զանգվածի զանգվածը կախված է k = 20 Ն/մ կոշտությամբ պարուրաձև զսպանակից: Տատանողական համակարգի լոգարիթմական մարման նվազումը հավասար է . Նրանք ցանկանում են քաշը ճոճել կարճ հրումներով՝ ազդելով քաշի վրա F = 100 մՆ ուժով τ = 0,01 վրկ ժամանակով։ Ինչքա՞ն պետք է լինի հարվածների հաճախականությունը, որպեսզի քաշի ամպլիտուդան առավելագույն լինի: Ո՞ր կետերում և ո՞ր ուղղությամբ պետք է սեղմել kettlebell-ը: Որքա՞ն ամպլիտուդով հնարավոր կլինի այս կերպ քաշել:
Լուծում:
1 Հարկադիր թրթռումները կարող են առաջանալ ցանկացած պարբերական ազդեցության տակ: Այս դեպքում կայուն վիճակի տատանումը տեղի կունենա արտաքին ազդեցության հաճախականությամբ։ Եթե արտաքին ցնցումների ժամանակաշրջանը համընկնում է բնական տատանումների հաճախականության հետ, ապա համակարգում տեղի է ունենում ռեզոնանս՝ տատանումների ամպլիտուդը դառնում է ամենամեծը։ Մեր դեպքում, որպեսզի ռեզոնանս առաջանա, ցնցումների ժամանակաշրջանը պետք է համընկնի զսպանակային ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանի հետ։
Լոգարիթմական մարման նվազումը փոքր է, հետևաբար, համակարգում քիչ շփում կա, և մածուցիկ միջավայրում ճոճանակի տատանման ժամանակահատվածը գործնականում համընկնում է վակուումում ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանի հետ.
2 Ակնհայտ է, որ հրումների ուղղությունը պետք է համընկնի քաշի արագության հետ: Այս դեպքում համակարգը էներգիայով համալրող արտաքին ուժի աշխատանքը դրական կլինի։ Եվ թրթռումները կսատանան: Համակարգի կողմից ստացված էներգիան ազդեցության գործընթացում
ամենամեծը կլինի, երբ բեռը անցնի հավասարակշռության դիրքը, քանի որ այս դիրքում ճոճանակի արագությունը առավելագույնն է։
Այսպիսով, համակարգը ամենաարագ ճոճվում է ցնցումների ազդեցության տակ բեռի շարժման ուղղությամբ, երբ այն անցնում է հավասարակշռության դիրքով:
3 Տատանումների ամպլիտուդը դադարում է աճել, երբ հարվածի գործընթացում համակարգին տրվող էներգիան հավասար է այդ ժամանակահատվածում շփման հետևանքով էներգիայի կորստին.
Մենք կգտնենք էներգիայի կորուստը որոշակի ժամանակահատվածում տատանողական համակարգի որակի գործոնի միջոցով
որտեղ E-ը տատանողական համակարգի ընդհանուր էներգիան է, որը կարող է հաշվարկվել որպես .
Կորուստների էներգիայի փոխարեն մենք փոխարինում ենք ազդեցության ժամանակ համակարգի ստացած էներգիան.
Առավելագույն արագությունը տատանման գործընթացում է. Սա հաշվի առնելով՝ մենք ստանում ենք.
§7 Անկախ լուծման առաջադրանքներ
Թեստ «Հարկադիր թրթռումներ»
1 Ո՞ր տատանումներն են կոչվում հարկադիր:
Ա) արտաքին պարբերաբար փոփոխվող ուժերի ազդեցության տակ տեղի ունեցող տատանումներ.
Բ) Տատանումներ, որոնք առաջանում են համակարգում արտաքին ցնցումից հետո.
2 Հետևյալ տատանումներից ո՞րն է հարկադրված.
Ա) զսպանակից կախված բեռի տատանումը հավասարակշռության դիրքից նրա մեկ շեղումից հետո.
Բ) ընդունիչի աշխատանքի ընթացքում բարձրախոսի կոնի տատանումը.
Բ) հավասարակշռության դիրքում բեռի մեկ հարվածից հետո զսպանակից կախված բեռի տատանումը.
Դ) էլեկտրաշարժիչի պատյանի թրթռումը դրա աշխատանքի ընթացքում.
Դ) երաժշտություն լսող մարդու ականջի թմբկաթաղանթի թրթռումները.
3 Արտաքին շարժիչ ուժը գործում է տատանողական համակարգի վրա իր սեփական հաճախականությամբ, որը տատանվում է ըստ օրենքի: Տատանողական համակարգում թուլացման գործակիցը հավասար է . Ո՞ր օրենքի համաձայն է մարմնի կոորդինատը փոխվում ժամանակի ընթացքում.
Գ) Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը կմնա անփոփոխ, քանի որ շփման հետևանքով համակարգի կորցրած էներգիան կփոխհատուցվի արտաքին շարժիչ ուժի աշխատանքի շնորհիվ էներգիայի ստացմամբ:
5 Համակարգը սինուսոիդային ուժի ազդեցությամբ կատարում է հարկադիր տատանումներ։ Նշեք Բոլորըգործոններ, որոնցից կախված է այս տատանումների ամպլիտուդը:
Ա) արտաքին շարժիչ ուժի ամպլիտուդից.
Բ) էներգիայի առկայությունը տատանողական համակարգում այն պահին, երբ արտաքին ուժը սկսում է գործել.
Գ) բուն տատանողական համակարգի պարամետրերը.
Դ) շփում տատանողական համակարգում.
Դ) համակարգում բնական տատանումների առկայությունը այն պահին, երբ արտաքին ուժը սկսում է գործել.
Ե) տատանումների հաստատման ժամանակը.
G) Արտաքին շարժիչ ուժի հաճախականություններ.
6 Մ զանգվածի բլոկը կատարում է հարկադիր ներդաշնակ տատանումներ T պարբերությամբ և A ամպլիտուդով հորիզոնական հարթության երկայնքով: Շփման գործակից μ. Ի՞նչ աշխատանք է կատարում արտաքին շարժիչ ուժը T պարբերությանը հավասար ժամանակում:
Ա) 4 մկգԱ; Բ) 2 մկմգԱ; Բ) μmgA; Դ) 0;
Դ) Պատասխան տալ հնարավոր չէ, քանի որ հայտնի չէ արտաքին շարժիչ ուժի մեծությունը։
7 Կատարեք ճիշտ հայտարարություն
Ռեզոնանսը երևույթ է...
Ա) արտաքին ուժի հաճախականության համընկնումը տատանողական համակարգի բնական հաճախականության հետ.
Բ) Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կտրուկ աճ.
Պայմանում նկատվում է ռեզոնանս
Ա) նվազեցնելով շփումը տատանողական համակարգում.
Բ) արտաքին շարժիչ ուժի ամպլիտուդի ավելացում.
Գ) արտաքին ուժի հաճախականության համընկնումը տատանողական համակարգի բնական հաճախականության հետ.
Դ) Երբ արտաքին ուժի հաճախականությունը համընկնում է ռեզոնանսային հաճախականության հետ.
8 Ռեզոնանսային երեւույթը կարելի է դիտարկել...
Ա) ցանկացած տատանողական համակարգում.
Բ) ազատ տատանումներ կատարող համակարգում.
Բ) Ինքնաթռիչքային համակարգում.
Դ) հարկադիր տատանումների ենթարկվող համակարգում:
9 Նկարում ներկայացված է հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կախվածության գրաֆիկը շարժիչ ուժի հաճախականությունից: Ռեզոնանսը տեղի է ունենում հաճախականությամբ...
10 Երեք միանման ճոճանակներ, որոնք տեղակայված են տարբեր մածուցիկ միջավայրերում, կատարում են հարկադիր տատանումներ: Նկարը ցույց է տալիս այս ճոճանակների ռեզոնանսային կորերը: Ո՞ր ճոճանակն է տատանման ժամանակ ունենում մածուցիկ միջավայրի ամենամեծ դիմադրությունը:
Ա) 1; Բ) 2; AT 3;
Դ) Պատասխան տալ հնարավոր չէ, քանի որ հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը, բացի արտաքին ուժի հաճախականությունից, կախված է նաև դրա ամպլիտուդից։ Վիճակը ոչինչ չի ասում արտաքին շարժիչ ուժի ամպլիտուդության մասին։
11 Տատանողական համակարգի բնական տատանումների ժամանակաշրջանը հավասար է T 0-ի։ Ինչպիսի՞ն կարող է լինել ցնցումների ժամանակաշրջանը, որ տատանումների ամպլիտուդը կտրուկ մեծանա, այսինքն՝ համակարգում ռեզոնանս առաջանա։
Ա) T 0; Բ) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;
Գ) Ճոճանակը կարող է օրորվել ցանկացած հաճախականության հրումներով:
12 Քո փոքր եղբայրը նստած է ճոճանակի վրա, դու նրան ճոճում ես կարճ հրումներով։ Ինչպիսի՞ն պետք է լինի ցնցումների հաջորդականության ժամանակահատվածը, որպեսզի գործընթացն առավել արդյունավետ լինի: Ճոճանակի բնական տատանումների ժամանակաշրջանը T 0.
Դ) Ճոճանակը կարող է օրորվել ցանկացած հաճախականության հրումներով:
13 Քո փոքր եղբայրը նստած է ճոճանակի վրա, դու նրան ճոճում ես կարճ հրումներով։ Ճոճանակի ո՞ր դիրքում պետք է կատարվի հրումը և ո՞ր ուղղությամբ պետք է կատարվի հրումը, որպեսզի գործընթացն առավել արդյունավետ լինի:
Ա) ճոճանակի ամենավերին դիրքում հրում դեպի հավասարակշռության դիրքը.
Բ) Հրել ճոճանակի ամենավերին դիրքը հավասարակշռության դիրքից ուղղությամբ.
Բ) հավասարակշռված դիրքով հրում ճոճանակի շարժման ուղղությամբ.
Դ) Դուք կարող եք հրել ցանկացած դիրքում, բայց միշտ ճոճանակի շարժման ուղղությամբ:
14 Թվում է, թե ժամանակին կամրջի վրա իր սեփական թրթռումներով պարսատիկ կրակելով և շատ կրակոցներ արձակելով, դուք կարող եք ուժեղ ճոճել այն, բայց դա դժվար թե հաջողվի: Ինչո՞ւ։
Ա) կամրջի զանգվածը (նրա իներցիան) մեծ է պարսատիկից ստացված «փամփուշտի» զանգվածի համեմատ կամուրջը չի կարող շարժվել նման հարվածների ազդեցության տակ.
Բ) «Փամփուշտի» հարվածի ուժը ճեղապարսատիկից այնքան փոքր է, որ կամուրջը չի կարող շարժվել նման հարվածների ազդեցության տակ.
Գ) Մեկ հարվածով կամրջին տրվող էներգիան շատ ավելի քիչ է, քան այդ ժամանակահատվածում շփման պատճառով էներգիայի կորուստը:
15 Դուք մի դույլ ջուր եք տանում։ Դույլի ջուրը ճոճվում է և դուրս ցայտում։ Ի՞նչ կարելի է անել, որպեսզի դա տեղի չունենա:
Ա) Քայլելու հետ ռիթմով ճոճեք ձեռքը, որի մեջ գտնվում է դույլը.
Բ) փոխել շարժման արագությունը՝ թողնելով քայլերի երկարությունը անփոփոխ.
Գ) Պարբերաբար կանգ առեք և սպասեք, որ ջրի թրթռումները հանդարտվեն.
Դ) Համոզվեք, որ շարժման ընթացքում դույլով ձեռքը տեղադրված է խիստ ուղղահայաց:
Առաջադրանքներ
1 Համակարգը կատարում է 1000 Հց հաճախականությամբ խոնավացված տատանումներ։ Սահմանել հաճախականությունը v 0բնական թրթռումներ, եթե ռեզոնանսային հաճախականությունը
2 Որոշեք, թե ինչ արժեքով է Դ vռեզոնանսային հաճախականությունը տարբերվում է բնական հաճախականությունից v 0= 1000 Հց տատանողական համակարգ, որը բնութագրվում է մարման գործակիցով d = 400s -1:
3 100 գ զանգվածով բեռնվածքը, որը կախված է 10 Ն/մ կոշտության զսպանակի վրա, հարկադիր տատանումներ է կատարում մածուցիկ միջավայրում՝ r=0,02 կգ/վ դիմադրության գործակիցով: Որոշեք մարման գործակիցը, ռեզոնանսային հաճախականությունը և ամպլիտուդը: Շարժիչ ուժի ամպլիտուդային արժեքը 10 մՆ է:
4 Հարկադիր հարմոնիկ տատանումների ամպլիտուդները w 1 = 400 s -1 և w 2 = 600 s -1 հաճախականություններում հավասար են: Որոշեք ռեզոնանսային հաճախականությունը:
5 Բեռնատար մեքենաներ մի կողմից հողային ճանապարհով մտնում են հացահատիկի պահեստ, բեռնաթափում և պահեստից դուրս գալիս նույն արագությամբ, բայց մյուս կողմից: Պահեստի ո՞ր կողմն ունի ճանապարհի վրա ավելի շատ փոսեր, քան մյուս կողմը: Ինչպե՞ս կարելի է որոշել, թե պահեստի որ կողմից է մուտքը, իսկ որը՝ ելքը՝ ելնելով ճանապարհի վիճակից։ Պատասխանը հիմնավորե՛ք
Շփման ուժերի առկայության պատճառով մեխանիկական էներգիայի կորուստները ցանկացած տատանողական համակարգում անխուսափելի են, հետևաբար, առանց դրսից էներգիա «մոմելու», տատանումները կխոնավվեն: Շարունակական տատանումների տատանողական համակարգեր ստեղծելու մի քանի սկզբունքորեն տարբեր եղանակներ կան: Եկեք ավելի սերտ նայենք չխաթարված տատանումներ արտաքին պարբերական ուժի ազդեցության տակ. Նման տատանումները կոչվում են հարկադիր: Շարունակենք ուսումնասիրել ներդաշնակ ճոճանակի շարժումը (նկ. 6.9):
Ի լրումն առաձգականության և մածուցիկ շփման նախկինում քննարկված ուժերի, գնդակի վրա գործում է արտաքին համոզիչՊարբերական ուժ, որը տատանվում է ներդաշնակ օրենքի համաձայն
հաճախականությունը, որը կարող է տարբերվել ճոճանակի բնական հաճախականությունից ω o. Այդ ուժի բնույթն այս դեպքում մեզ համար կարեւոր չէ։ Նման ուժ կարող է ստեղծվել տարբեր ձևերով, օրինակ՝ գնդակին էլեկտրական լիցք հաղորդելով և այն արտաքին փոփոխական էլեկտրական դաշտում դնելով։ Քննարկվող դեպքում գնդակի շարժման հավասարումն ունի ձև
Եկեք բաժանենք այն գնդակի զանգվածի վրա և օգտագործենք նախորդ նշումը համակարգի պարամետրերի համար: Արդյունքում մենք ստանում ենք հարկադիր տատանումների հավասարումը:
Որտեղ զ o = Ֆ o /մ- արտաքին շարժիչ ուժի ամպլիտուդային արժեքի հարաբերակցությունը գնդակի զանգվածին: (3) հավասարման ընդհանուր լուծումը բավականին դժվար է և, իհարկե, կախված է սկզբնական պայմաններից։ Գնդիկի շարժման բնույթը, որը նկարագրված է (3) հավասարմամբ, պարզ է՝ շարժիչ ուժի ազդեցությամբ առաջանալու են տատանումներ, որոնց ամպլիտուդությունը կավելանա։ Այս անցումային ռեժիմը բավականին բարդ է և կախված է սկզբնական պայմաններից։ Որոշ ժամանակ անց տատանողական ռեժիմը կհաստատվի, և դրանց ամպլիտուդը կդադարի փոխվել։ Հենց ճիշտ տատանումների կայուն վիճակ, շատ դեպքերում առաջնային հետաքրքրություն է ներկայացնում։ Մենք չենք դիտարկելու համակարգի անցումը կայուն վիճակի, այլ կկենտրոնանանք այս ռեժիմի բնութագրերի նկարագրության և ուսումնասիրության վրա: Խնդրի այս ձևակերպմամբ նախնական պայմանները հստակեցնելու կարիք չկա, քանի որ մեզ հետաքրքրող կայուն վիճակը կախված չէ սկզբնական պայմաններից, դրա բնութագրերն ամբողջությամբ որոշվում են հենց հավասարմամբ: Նման իրավիճակի ենք հանդիպել մարմնի շարժումը մշտական արտաքին ուժի և մածուցիկ շփման ուժի ազդեցության տակ ուսումնասիրելիս.
Որոշ ժամանակ անց մարմինը շարժվում է հաստատուն կայուն արագությամբ v = F o /β , որը կախված չէ սկզբնական պայմաններից և ամբողջությամբ որոշվում է շարժման հավասարմամբ։ Նախնական պայմանները որոշում են կայուն շարժման անցումային ռեժիմը: Հիմնվելով ողջամտության վրա՝ խելամիտ է ենթադրել, որ տատանման կայուն ռեժիմում գնդակը տատանվելու է արտաքին շարժիչ ուժի հաճախականությամբ։ Հետևաբար, (3) հավասարման լուծումը պետք է փնտրել շարժիչ ուժի հաճախականությամբ ներդաշնակ ֆունկցիայի մեջ: Նախ, լուծենք (3) հավասարումը` անտեսելով դիմադրության ուժը
Փորձենք դրա լուծումը գտնել հարմոնիկ ֆունկցիայի տեսքով
Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք մարմնի արագության և արագացման կախվածությունը ժամանակից՝ որպես շարժման օրենքի ածանցյալներ։
և փոխարինել դրանց արժեքները հավասարման մեջ (4)
Այժմ դուք կարող եք նվազեցնել այն cosωt. Հետևաբար, այս արտահայտությունը ցանկացած պահի վերածվում է ճիշտ ինքնության՝ պայմանի կատարման պայմանով
Այսպիսով, մեր ենթադրությունը (4) հավասարման (5) ձևի լուծման վերաբերյալ հիմնավորվեց. տատանումների կայուն վիճակը նկարագրվում է ֆունկցիայով.
Նշենք, որ գործակիցը Աըստ ստացված արտահայտության (6) կարող է լինել կամ դրական (հետ ω < ω o), և բացասական (հետ ω > ω o). Նշանի փոփոխությունը համապատասխանում է տատանումների փուլի փոփոխությանը ըստ π (այս փոփոխության պատճառը կպարզվի մի փոքր ուշ), հետևաբար տատանումների ամպլիտուդն այս գործակցի մոդուլն է. |Ա|. Հաստատուն վիճակի տատանումների ամպլիտուդը, ինչպես կարելի էր ակնկալել, համաչափ է շարժիչ ուժի մեծությանը։ Բացի այդ, այս ամպլիտուդը բարդ կերպով կախված է շարժիչ ուժի հաճախականությունից: Այս հարաբերությունների սխեմատիկ գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 6.10
Բրինձ. 6.10 Ռեզոնանսային կոր
Ինչպես հետևում է բանաձևից (6) և հստակ տեսանելի է գրաֆիկի վրա, քանի որ շարժիչ ուժի հաճախականությունը մոտենում է համակարգի բնական հաճախականությանը, ամպլիտուդան կտրուկ մեծանում է: Ամպլիտուդայի այս բարձրացման պատճառը պարզ է. շարժիչ ուժը «ընթացքում» հրում է գնդակը, երբ հաճախականությունները լիովին համընկնում են, սահմանված ռեժիմը բացակայում է. առատությունը մեծանում է մինչև անսահմանություն: Իհարկե, գործնականում անհնար է դիտարկել նման անսահման աճ. Նախ, դա կարող է հանգեցնել ինքնին տատանողական համակարգի ոչնչացմանը, Երկրորդ, տատանումների մեծ ամպլիտուդների դեպքում միջավայրի դիմադրողական ուժերը չեն կարող անտեսվել։ Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կտրուկ աճը, երբ շարժիչ ուժի հաճախականությունը մոտենում է համակարգի տատանումների բնական հաճախականությանը, կոչվում է ռեզոնանսի երեւույթ։ Այժմ անցնենք հարկադիր տատանումների հավասարման լուծման որոնմանը՝ հաշվի առնելով դիմադրության ուժը
Բնականաբար, այս դեպքում էլ լուծումը պետք է փնտրել շարժիչ ուժի հաճախականությամբ ներդաշնակ ֆունկցիայի տեսքով։ Հեշտ է տեսնել, որ (5) ձևով լուծում որոնելը այս դեպքում հաջողության չի բերի։ Իրոք, հավասարումը (8), ի տարբերություն (4) հավասարման, պարունակում է մասնիկների արագությունը, որը նկարագրվում է սինուսային ֆունկցիայով։ Հետևաբար, (8) հավասարման ժամանակային մասը չի կրճատվի: Հետևաբար, (8) հավասարման լուծումը պետք է ներկայացվի ներդաշնակ ֆունկցիայի ընդհանուր տեսքով
որոնցում կան երկու պարամետր Ա oԵվ φ պետք է գտնել՝ օգտագործելով (8) հավասարումը: Պարամետր Ա oհարկադիր տատանումների ամպլիտուդն է, φ - փուլային տեղաշարժ փոփոխվող կոորդինատի և փոփոխական շարժիչ ուժի միջև: Օգտագործելով գումարի կոսինուսի եռանկյունաչափական բանաձևը, ֆունկցիան (9) կարող է ներկայացվել համարժեք ձևով.
որը նույնպես պարունակում է երկու պարամետր B=A o cosφԵվ C = −A o sinφորոշվելու համար։ Օգտագործելով ֆունկցիան (10), մենք գրում ենք հստակ արտահայտություններ մասնիկի արագության և արագացման կախվածության համար ժամանակից
և փոխարինել (8) հավասարմամբ.
Եկեք այս արտահայտությունը վերաշարադրենք ձևով
Որպեսզի (13) հավասարությունը ցանկացած պահի բավարարվի, անհրաժեշտ է, որ կոսինուսի և սինուսի գործակիցները հավասար լինեն զրոյի։ Այս պայմանի հիման վրա մենք ստանում ենք երկու գծային հավասարումներ ֆունկցիայի (10) պարամետրերը որոշելու համար.
Այս հավասարումների համակարգի լուծումն ունի ձև
Ելնելով բանաձևից (10) մենք որոշում ենք հարկադիր տատանումների բնութագրերը՝ առատություն
փուլային տեղաշարժ
Ցածր թուլացման դեպքում այս կախվածությունը կտրուկ առավելագույն է ունենում, քանի որ շարժիչ ուժի հաճախականությունը մոտենում է ω համակարգի բնական հաճախականությանը ω o. Այսպիսով, այս դեպքում կարող է առաջանալ նաև ռեզոնանս, ինչի պատճառով գծագրված կախվածությունները հաճախ կոչվում են ռեզոնանսային կոր։ Հաշվի առնելով թույլ թուլացումը ցույց է տալիս, որ ամպլիտուդը չի աճում մինչև անսահմանություն, դրա առավելագույն արժեքը կախված է թուլացման գործակիցից. քանի որ վերջինս մեծանում է, առավելագույն ամպլիտուդն արագորեն նվազում է: Տատանման ամպլիտուդի ստացված կախվածությունը շարժիչ ուժի հաճախականությունից (16) պարունակում է չափազանց շատ անկախ պարամետրեր ( զ o , ω o , γ ) ռեզոնանսային կորերի ամբողջական ընտանիք կառուցելու համար։ Ինչպես շատ դեպքերում, այս հարաբերությունը կարող է զգալիորեն պարզեցվել՝ անցնելով «անչափ» փոփոխականներին: Փոխակերպենք (16) բանաձևը հետևյալ ձևի
և նշել
- հարաբերական հաճախականություն (շարժիչ ուժի հաճախականության հարաբերակցությունը համակարգի տատանումների բնական հաճախականությանը).
- հարաբերական ամպլիտուդ (տատանումների ամպլիտուդի հարաբերակցությունը շեղման արժեքին Ա o = f/ω o 2 զրոյական հաճախականությամբ);
- անչափ պարամետր, որը որոշում է թուլացման չափը: Օգտագործելով այս նշումները, ֆունկցիան (16) զգալիորեն պարզեցված է
քանի որ այն պարունակում է միայն մեկ պարամետր - δ . Ռեզոնանսային կորերի մեկ պարամետրանոց ընտանիք, որը նկարագրված է (16b) ֆունկցիայով, կարող է կառուցվել հատկապես համակարգչի միջոցով: Այս շինարարության արդյունքը ներկայացված է Նկ. 629 թ.
բրինձ. 6.11
Նկատի ունեցեք, որ անցումը չափման «պայմանական» միավորներին կարող է իրականացվել պարզապես կոորդինատային առանցքների մասշտաբները փոխելու միջոցով: Հարկ է նշել, որ շարժիչ ուժի հաճախականությունը, որի դեպքում հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը առավելագույնն է, նույնպես կախված է մարման գործակիցից՝ վերջինիս մեծացման հետ փոքր-ինչ նվազում։ Ի վերջո, մենք ընդգծում ենք, որ խոնավացման գործակցի աճը հանգեցնում է ռեզոնանսային կորի լայնության զգալի աճի: Ստացված փուլային տեղաշարժը կետի տատանումների և շարժիչ ուժի միջև կախված է նաև տատանումների հաճախականությունից և դրանց խամրման գործակիցից։ Մենք ավելի լավ կծանոթանանք այս փուլային տեղաշարժի դերին, երբ դիտարկենք էներգիայի փոխակերպումը հարկադիր տատանումների գործընթացում:
Ազատ չխոնավ տատանումների հաճախականությունը համընկնում է բնական հաճախականության հետ, խամրված տատանումների հաճախականությունը մի փոքր պակաս է բնականից, իսկ հարկադիր տատանումների հաճախականությունը համընկնում է շարժիչ ուժի հաճախականության հետ, այլ ոչ թե բնական հաճախականության։
Հարկադիր էլեկտրամագնիսական տատանումներ
ՍտիպվածՍրանք տատանումներ են, որոնք տեղի են ունենում տատանողական համակարգում արտաքին պարբերական ազդեցության ազդեցության տակ։
Նկ.6.12. Սխեման հարկադիր էլեկտրական տատանումներով
Դիտարկենք էլեկտրական տատանողական միացումում տեղի ունեցող գործընթացները ( Նկ.6.12), կապված արտաքին աղբյուրի հետ, որի էմֆ-ը տատանվում է ներդաշնակ օրենքի համաձայն
,
Որտեղ մ- արտաքին EMF-ի ամպլիտուդը,
– EMF-ի ցիկլային հաճախականություն:
Նշենք ըստ U Գլարումը կոնդենսատորի վրա և միջով ես - ընթացիկ ուժը միացումում: Այս շղթայում, բացի փոփոխական EMF-ից (տ) ակտիվ է նաև ինքնաառաջադրվող էմֆը Լինդուկտորում։
Ինքնասինդուկցիոն emf-ն ուղիղ համեմատական է միացումում հոսանքի փոփոխության արագությանը
.
Հեռացման համար հարկադիր տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումըՆման միացումում առաջանալով՝ մենք օգտագործում ենք Կիրխհոֆի երկրորդ կանոնը
.
Լարումը ակտիվ դիմադրության վրա Ռգտնել Օհմի օրենքով
.
Էլեկտրական հոսանքի ուժգնությունը հավասար է հաղորդիչի խաչմերուկով մեկ միավոր ժամանակում հոսող լիցքին
.
Ուստի
.
Լարման U Գկոնդենսատորի վրա ուղիղ համեմատական է կոնդենսատորի թիթեղների լիցքին
.
Ինքնա-ինդուկցիոն emf-ը կարող է ներկայացվել ժամանակի նկատմամբ լիցքի երկրորդ ածանցյալի միջոցով
.
Կիրխհոֆի երկրորդ կանոնի մեջ լարման և EMF-ի փոխարինում
.
Այս արտահայտության երկու կողմերը բաժանելով Լև տերմինները բաշխելով ըստ ածանցյալի նվազման կարգի աստիճանի, մենք ստանում ենք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարում.
.
Ներկայացնենք հետևյալ նշումը և ստանանք
- թուլացման գործակից,
- շղթայի բնական տատանումների ցիկլային հաճախականությունը:
.
(1)
Հավասարումը (1) է տարասեռերկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում. Այս տեսակի հավասարումը նկարագրում է տատանողական համակարգերի լայն դասի (էլեկտրական, մեխանիկական) վարքագիծը արտաքին պարբերական ազդեցության (արտաքին էմֆ կամ արտաքին ուժ) ազդեցության տակ։
(1) հավասարման ընդհանուր լուծումը բաղկացած է ընդհանուր լուծումից ք 1 միատարրդիֆերենցիալ հավասարում (2)
(2)
և ցանկացած մասնավոր լուծում ք 2 տարասեռհավասարումներ (1)
.
Ընդհանուր լուծման տեսակը միատարրհավասարումը (2) կախված է թուլացման գործակիցի արժեքից . Մեզ կհետաքրքրի թույլ թուլացման դեպքը << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
Որտեղ ԲԵվ 0 - հաստատուններ, որոնք նշված են նախնական պայմաններով:
Լուծումը (3) նկարագրում է շղթայում խոնավացած տատանումները: Արժեքները ներառված են (3):
- խոնավացած տատանումների ցիկլային հաճախականությունը.
- խոնավացած տատանումների ամպլիտուդություն;
- խոնավացած տատանումների փուլ:
Մենք փնտրում ենք (1) հավասարման որոշակի լուծում ներդաշնակ տատանման տեսքով, որը տեղի է ունենում հաճախականությանը հավասար հաճախականությամբ արտաքին պարբերական ազդեցություն - EMF և փուլային զիջում Նրանից
Որտեղ 
– հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը՝ կախված հաճախականությունից:
Եկեք փոխարինենք (4)-ը (1)-ով և ձեռք բերենք ինքնությունը
Տատանումների փուլերը համեմատելու համար օգտագործում ենք եռանկյունաչափական կրճատման բանաձևեր
.
Այնուհետև մեր հավասարումը կվերագրվի այսպես
Ներկայացնենք ստացված ինքնության ձախ կողմի տատանումները ձևով վեկտորային դիագրամ (բրինձ.6.13)..
Երրորդ տերմինը, որը համապատասխանում է հզորության վրա տատանումներին ՀԵՏ, ունենալով փուլ (
տ
–
) և ամպլիտուդությունը 
, այն ներկայացնում ենք որպես աջ ուղղված հորիզոնական վեկտոր։
Նկ.6.13. Վեկտորային դիագրամ
Առաջին տերմինը ձախ կողմում, որը համապատասխանում է ինդուկտիվության տատանումներին Լ, վեկտորային գծապատկերի վրա պատկերված կլինի որպես վեկտոր՝ ուղղված հորիզոնական դեպի ձախ (դրա ամպլիտուդը 
).
Երկրորդ տերմինը, որը համապատասխանում է դիմադրության տատանումներին Ռ, մենք այն ներկայացնում ենք որպես ուղղահայաց վերև ուղղված վեկտոր (նրա ամպլիտուդը 
), քանի որ դրա փուլը /2 ետ է մնում առաջին անդամի փուլից։
Քանի որ հավասար նշանից ձախ երեք թրթռումների գումարը տալիս է ներդաշնակ թրթռում 
, այնուհետև գծապատկերի վեկտորային գումարը (ուղղանկյան անկյունագիծը) պատկերում է ամպլիտուդով տատանում. 
և փուլ
տ, որը միացված է
առաջ է մղում երրորդ տերմինի տատանումների փուլը:
Ուղղանկյուն եռանկյունից, օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, կարող եք գտնել ամպլիտուդը Ա( )
(5)
Եվ tg որպես հակառակ կողմի հարակից կողմի հարաբերակցությունը:
.
(6)
Հետևաբար, լուծումը (4), հաշվի առնելով (5) և (6) լուծումը, կստանա ձև
.
(7)
Դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում(1) գումարն է ք 1 և ք 2
.
(8)
Բանաձև (8) ցույց է տալիս, որ երբ շղթան ենթարկվում է պարբերական արտաքին EMF-ի, դրանում առաջանում են երկու հաճախականությունների տատանումներ, այսինքն. չխաթարված տատանումներ արտաքին EMF-ի հաճախականությամբ
և հաճախականությամբ թուլացած տատանումները 
. Խոնավացված տատանումների ամպլիտուդը 
Ժամանակի ընթացքում այն դառնում է աննշանորեն փոքր, և շղթայում մնում են միայն հարկադիր տատանումները, որոնց ամպլիտուդը կախված չէ ժամանակից։ Հետևաբար, կայուն վիճակի հարկադիր տատանումները նկարագրվում են ֆունկցիայով (4): Այսինքն՝ սխեմայում տեղի են ունենում հարկադիր ներդաշնակ տատանումներ՝ արտաքին ազդեցության հաճախականությանը և ամպլիտուդին հավասար հաճախականությամբ։ 
, կախված այս հաճախականությունից ( բրինձ. 3Ա 5) օրենքի համաձայն. Այս դեպքում հարկադիր տատանումների փուլը հետ է մնում
հարկադրանքի ազդեցությունից։
Ունենալով տարբերակված արտահայտություն (4) ժամանակի նկատմամբ՝ մենք գտնում ենք ընթացիկ ուժը շղթայում
Որտեղ 
- ընթացիկ ամպլիտուդ:
Եկեք այս արտահայտությունը գրենք ձևի ներկայիս ուժի համար
,
(9)
Որտեղ 
–ֆազային տեղաշարժ ընթացիկ և արտաքին էլեկտրաէներգիայի միջև.
Համաձայն (6) և բրինձ. 2
.
(10)
Այս բանաձևից հետևում է, որ ընթացիկ և արտաքին էմֆ-ի միջև փուլային տեղաշարժը կախված է մշտական դիմադրությունից Ռ, շարժիչ EMF-ի հաճախականության հարաբերությունից և շղթայի բնական հաճախականությունը 0 .
Եթե < 0, ապա փուլային տեղաշարժը ընթացիկ և արտաքին EMF-ի միջև < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Եթե > 0 ապա > 0. Ընթացիկ տատանումները փուլային EMF-ի տատանումներից հետ են մնում անկյան տակ .
Եթե = 0 (ռեզոնանսային հաճախականություն), դա = 0, այսինքն` հոսանքը և EMF-ը տատանվում են նույն փուլում:
Ռեզոնանս– սա տատանումների ամպլիտուդի կտրուկ աճի երևույթն է, երբ արտաքին շարժիչ ուժի հաճախականությունը համընկնում է տատանումների համակարգի բնական հաճախականության հետ։
Ռեզոնանսում = 0 և տատանումների ժամանակաշրջան
.
Հաշվի առնելով, որ թուլացման գործակիցը
,
մենք ռեզոնանսում ստանում ենք որակի գործոնի արտահայտություններ Տ = Տ 0
,
մյուս կողմից
.
Լարման ամպլիտուդները ինդուկտիվության և հզորության վրա ռեզոնանսում կարող են արտահայտվել շղթայի որակի գործակցի միջոցով
,
(15)
.
(16)
(15) և (16)-ից պարզ է դառնում, որ երբ
=
0, լարման ամպլիտուդը կոնդենսատորի վրա և ինդուկտիվությունը Քանգամ ավելի մեծ, քան արտաքին էմֆ-ի ամպլիտուդը: Սա հաջորդականության հատկություն է RLCմիացումն օգտագործվում է որոշակի հաճախականության ռադիոազդանշանը մեկուսացնելու համար 
ռադիոհաճախականության սպեկտրից ռադիոընդունիչը վերակառուցելիս:
Գործնականում RLCսխեմաները միացված են այլ սխեմաների, չափիչ գործիքների կամ ուժեղացնող սարքերի, որոնք լրացուցիչ թուլացում են առաջացնում RLCշրջան. Հետեւաբար, բեռնվածի որակի գործոնի իրական արժեքը RLCմիացում պարզվում է, որ ավելի ցածր է, քան որակի գործոնի արժեքը, որը գնահատվում է բանաձևով
.
Որակի գործոնի իրական արժեքը կարելի է գնահատել որպես
Նկ.6.14. Որակի գործոնի որոշում ռեզոնանսային կորից
,
որտեղ զ- հաճախականությունների թողունակությունը, որոնցում ամպլիտուդը առավելագույն արժեքի 0,7 է ( բրինձ. 4).
Կոնդենսատորի լարումը U Գ, ակտիվ դիմադրության վրա U Ռև ինդուկտորի վրա U Լհասնել առավելագույնին համապատասխանաբար տարբեր հաճախականություններում
,
,
.
Եթե թուլացումը ցածր է 0 >> , ապա այս բոլոր հաճախականությունները գործնականում համընկնում են, և կարելի է ենթադրել, որ
.
