Célja: Megadni a sorozat fogalmát, definícióját, véges, végtelen, a sorozatok különböző definíciós módjait, különbségeiket, megtanítani ezek alkalmazását a példák megoldása során.
Felszerelés: asztalok.
A lecke előrehaladása
I. Szervezési mozzanat.
II. A házi feladat elülső ellenőrzése:
1) tanuló a 2.636 számú táblán feladat (a „Feladatgyűjtemény a 9. évfolyamos írásbeli vizsgához” II. részből)
2) diák. Készítsen grafikont
3) frontálisan a 2.334 (a) számú osztály egészével.
III. Új anyag magyarázata.
Az iskolai előadás az oktatási folyamat megszervezésének egyik formája, amely egy adott téma tanulmányozása során a tanulókat a fő dologra irányítja, és magában foglalja a tanár és a diákok oktatási anyaghoz való személyes hozzáállásának széles körű bemutatását. Mert Az óra-előadás a tananyag tanár általi nagy blokkban történő bemutatását biztosítja, majd technológiájában a tanár és a tanulók közötti verbális kommunikáció a fő. A tanár szava érzelmi, esztétikai hatást fejt ki, és bizonyos attitűdöt teremt a tantárgyhoz. Előadás segítségével a tantermi tanulói tevékenységek különféle típusai kerülnek irányításra, a tudáson, készségeken, képességeken keresztül a megismerés az oktatási tevékenység alapjául formálódik.
I. Írja fel a 3-ra végződő kétjegyű számokat növekvő sorrendben!
13; 23; 33;………….93.
Párosítsa az egyes sorozatszámokat 1-től 9-ig egy adott kétjegyű számmal:
1->13; 2->23;………9->93.
Az első kilenc természetes szám halmaza és a 3-ra végződő kétjegyű számok halmaza között megfeleltetés jött létre. Ez a levelezés egy függvény.
A definíció tartománya: (1; 2; 3;……..9)
Sok érték (13; 23; 33;…….93).
Ha a megfelelést f-vel jelöljük, akkor
Ez a sorrend a par.
(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)
b) 1; 0; 1; 0; 1; 0
1. sz. táblázat
A) b)
II. 
O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)
M.z.f.  g(1) = ; |
g(3) =; ... | g(60) = |
A természetes számok halmazán meghatározott függvényt végtelen sorozatnak nevezzük.
2-nél; 4; 6; 8; 10;……..
1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n
f(1); f(2); f(3)… …..f(n)
- a sorozat tagjai.
Megjegyzés: különbséget kell tenni a halmaz fogalma és a sorozat fogalma között.
a) (10; 20; 30; 40)
Ugyanaz a készlet.
{40; 30; 20; 10}
b) azonban a 10. szekvenciák; 20; harminc; 40
Különféle:
(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)
(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).
III. Fontolja meg a sorrendet:
13; 5; 7; 9; tizenegy;……. -> végtelen, növekvő
2) 10; 9; 8; 7; 6. -> végleges, csökkenő.
A) 
Egy sorozatot növekvőnek nevezünk, ha a másodiktól kezdve minden tag nagyobb, mint az előző.
b) 
A csökkenő sorozat definíciója adott.
A növekvő vagy csökkenő sorozatokat monotonnak nevezzük.
1; 0; 1; 0; 1; 0. - ingadozó;
5; 5; 5; 5; ….. - állandó.
IV. A sorozatok geometriailag ábrázolhatók. Mert A sorozat egy olyan függvény, amelynek definíciós tartománya az N halmaz, akkor a gráf, úgy tűnik, az (x; y) sík pontjainak halmaza.
Példa: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.
(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)
Ábrázoljuk ezt a sorozatot
1. kép
Példa: Bizonyítsuk be, hogy egy ilyen formában megadott sorozat
99; 74; 49; 24; -1;……………
csökken.
V. A sorozatok megadásának módszerei.
Mert A sorozat egy függvény, amely az N halmazon van definiálva, akkor ötféleképpen határozhatunk meg sorozatokat:
I. Táblázatos
II. Leírási módszer
III. Elemző
IV. Grafikus
V. Ismétlődő
I. Tabuláris - nagyon kényelmetlen. Készítünk egy táblázatot, és ennek alapján határozzuk meg, melyik tag? milyen helyet foglal el....
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
| 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
II. A leírás módja.
Példa: A sorozat olyan, hogy minden tag 4-es számmal van írva, és a számjegyek száma megegyezik a sorozat számával.
III. Analitikai módszer (képlet segítségével).
Azt a képletet, amely egy sorozat minden tagját n számával fejezi ki, a sorozat n tagjának képletének nevezzük.
Például:
és a tanulók alkotják ezeket a sorozatokat, és fordítva: válassz egy képletet a sorozatok feltételeihez:
| a) 1; ; ;…………….. | |
b)  ...
|
|
V)  |
|
G)  |
 |
| e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. |
IV. A grafikus módszer szintén nem túl kényelmes, és általában nem használják.
A sorozat monotóniája
Monoton sorozat- sorozat, amely megfelel az alábbi feltételek egyikének:
A monoton sorozatok közül kiemelkedik a következők: szigorúan monoton sorozatok, amelyek megfelelnek az alábbi feltételek egyikének:
Néha a terminológia egy olyan változatát használják, amelyben a „növekvő sorozat” kifejezés a „nem csökkenő sorozat” kifejezés szinonimája, a „csökkenő sorozat” kifejezés pedig a „nem növekvő sorozat” kifejezés szinonimája. ". Ilyen esetben a fenti definícióból származó növekvő és csökkenő sorozatokat „szigorúan növekvőnek”, illetve „szigorúan csökkenőnek” nevezzük.
Néhány általánosítás
Kiderülhet, hogy a fenti feltételek nem teljesülnek minden számra, hanem csak egy bizonyos tartományból származó számokra
(itt megengedett a jobb oldali szegély megfordítása N+ a végtelenségig). Ebben az esetben a sorozatot hívják monoton az intervallumon én és magát a tartományt én hívott a monotónia intervalluma sorozatok.
Példák
Lásd még
Wikimédia Alapítvány. 2010.
Nézze meg, mi az „egy sorozat monotonitása” más szótárakban:
A matematikának a különböző függvények tulajdonságait vizsgáló ága. A függvényelmélet két területre oszlik: egy valós változó függvényelméletére és egy komplex változó függvényelméletére, amelyek között akkora a különbség, hogy... ... Collier enciklopédiája
A pszeudo-véletlen szekvenciák tesztelése egy adott pszeudo-véletlen szekvencia véletlenszerű szekvenciához való közelségének fokának meghatározására szolgáló módszerek összessége. Ilyen mérték általában az egyenletes eloszlás jelenléte, nagy... ... Wikipédia
Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd a Mérték. Egy halmaz mértéke egy nem negatív mennyiség, intuitív módon a halmaz méreteként (térfogataként) értelmezhető. Valójában a mérték egy bizonyos numerikus függvény, amely hozzárendeli az egyes... ... Wikipédiát
Híres író. Nemzetség. Orelben 1871-ben; apja földmérő volt. Tanulmányait az Oryol gimnáziumban, valamint a szentpétervári és moszkvai egyetemen, a jogi karon végezte. A diáknak nagy szüksége volt. Ekkor írta meg első történetét „a... Nagy életrajzi enciklopédia
A numerikus megoldási módszerek olyan módszerek, amelyek egy határérték-feladat megoldását egy diszkrét probléma megoldásával helyettesítik (lásd: Lineáris határérték-probléma; numerikus megoldási módszerek és Nemlineáris egyenlet; numerikus megoldási módszerek). Sok esetben, különösen, ha figyelembe vesszük, hogy...... Matematikai Enciklopédia
A Voynich-kézirat ismeretlen írásrendszerrel íródott Voynich-kézirat (angol Voyni ... Wikipédia
Ismeretlen írásrendszerrel írva A Voynich-kézirat egy titokzatos könyv, amelyet körülbelül 500 évvel ezelőtt írt egy ismeretlen szerző, ismeretlen nyelven, ismeretlen ábécé segítségével. Voynich kézirat... ... Wikipédia
Sigismondo d'India (olaszul: Sigismondo d India, kb. 1582, Palermo? – 1629. április 19., Modena) olasz zeneszerző. Tartalom 1 Életrajz 2 Kreativitás ... Wikipédia
Korszerűsítés- (Modernizáció) A modernizáció az a folyamat, amikor valamit a modernitás követelményeinek megfelelően megváltoztatunk, áttérünk a fejlettebb feltételekre, különféle új frissítések bevezetésével, a modernizáció típusaival, szerves... ... Befektetői Enciklopédia
Az egyik matematikai alapfogalom, melynek jelentése a matematika fejlődésével számos általánosítás tárgyát képezte. I. Még Eukleidész „Elemek” című művében (Kr. e. 3. század) is egyértelműen megfogalmazták a V. tulajdonságait, amelyeket most neveznek, hogy megkülönböztessék őket... ... Nagy Szovjet Enciklopédia
Ha minden n természetes számhoz valamilyen x n valós szám tartozik, akkor azt mondjuk, hogy az adott számsor
x 1 , x 2 , … x n , …
Szám x 1-et a sorozat tagjának nevezzük 1-es számmal vagy a sorozat első tagja, szám x 2 - a sorozat tagja 2-es számmal vagy a sorozat második tagja stb. Az x n számot hívják számmal rendelkező sorozat tagja n.
Kétféleképpen adhatunk meg számsorozatokat – ezzel és a gombbal visszatérő képlet.
Sorozat használata képletek egy sorozat általános tagjára– ez egy sorrendi feladat
x 1 , x 2 , … x n , …
az x n tag n számától való függését kifejező képlet segítségével.
1. példa Számsorozat
1, 4, 9, … n 2 , …
a gyakori kifejezés formula segítségével adjuk meg
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Egy sorozat megadását olyan képlettel, amely egy x n sorozattagot fejez ki az előző számokkal rendelkező sorozattagokon keresztül, a sorozat megadásának nevezzük. visszatérő képlet.
x 1 , x 2 , … x n , …
hívott növekvő sorrendben, több előző tag.
Más szóval mindenkinek n
x n + 1 >x n
3. példa Természetes számok sorozata
1, 2, 3, … n, …
van növekvő sorrendben.
Definíció 2. Számsorozat
x 1 , x 2 , … x n , …
hívott csökkenő sorrendben ha ennek a sorozatnak minden tagja Kevésbé előző tag.
Más szóval mindenkinek n= 1, 2, 3, … az egyenlőtlenség teljesül
x n + 1 < x n
4. példa Utóbbi
képlet adja meg
van csökkenő sorrendben.
5. példa Számsorozat
1, - 1, 1, - 1, …
képlet adja meg
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
nem se nem növekszik, se nem csökken sorrend.
Definíció 3. Növekvő és csökkenő számsorozatokat hívunk monoton sorozatok.
Korlátozott és korlátlan sorozatok
Definíció 4. Számsorozat
x 1 , x 2 , … x n , …
hívott felülről korlátozva, ha van olyan M szám, hogy ennek a sorozatnak minden tagja Kevésbé számok M.
Más szóval mindenkinek n= 1, 2, 3, … az egyenlőtlenség teljesül
Definíció 5. Számsorozat
x 1 , x 2 , … x n , …
hívott alul határolt, ha van olyan m szám, hogy ennek a sorozatnak minden tagja több számok m.
Más szóval mindenkinek n= 1, 2, 3, … az egyenlőtlenség teljesül
Definíció 6. Számsorozat
x 1 , x 2 , … x n , …
korlátozottnak nevezzük, ha az fent és lent is korlátozott.
Más szóval, vannak olyan M és m számok, amelyek mindegyikre vonatkoznak n= 1, 2, 3, … az egyenlőtlenség teljesül
m< x n < M
Definíció 7. Numerikus sorozatok, amelyek nincsenek korlátozva, hívott korlátlan sorozatok.
6. példa Számsorozat
1, 4, 9, … n 2 , …
képlet adja meg
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
alul határolt, például a 0 szám. Ez a sorozat azonban korlátlan felülről.
7. példa. Utóbbi
képlet adja meg
van korlátozott sorozat, mert mindenkinek n= 1, 2, 3, … az egyenlőtlenség teljesül
Weboldalunkon megismerkedhet a Resolventa oktatóközpont tanárai által az egységes matematika államvizsgára és az egységes államvizsgára való felkészüléshez készített oktatási anyagokkal is.
Iskolásoknak, akik szeretnének jól felkészülni és átmenni Egységes államvizsga matematikából vagy orosz nyelvből magas pontszámért a Resolventa oktatóközpont végzi
| felkészítő tanfolyamok 10. és 11. évfolyamos iskolásoknak |
Meghatározás 1. A sorozat ún csökkenő
(nem növekvő
), ha mindenkinek 
egyenlőtlenség érvényesül 
.
Meghatározás 2. Következetesség 
hívott növekvő
(nem csökkenő
), ha mindenkinek 
egyenlőtlenség érvényesül 
.
Meghatározás 3. Csökkenő, nem növekvő, növekvő és nem csökkenő sorozatokat nevezünk monoton szekvenciáknak nevezzük a csökkenő és növekvő sorozatokat is szigorúan monoton sorozatok.
Nyilvánvaló, hogy a nem csökkenő sorozat alulról, a nem növekvő sorozat pedig felülről. Ezért minden monoton sorozat nyilvánvalóan korlátozott az egyik oldalon.
Példa 1. Következetesség 
nő, nem csökken, 
csökken 
nem növekszik 
– nem monoton sorozat.
A monoton sorozatoknál a következők játszanak fontos szerepet:
Tétel 1. Ha egy nem csökkenő (nem növekvő) sorozat fent (lent) határos, akkor konvergál.
Bizonyíték. Hagyja a sorrendet 
nem csökken és felülről korlátos, azaz. 
és sok 
felülről korlátozva. Az 1. tétel 2. pontja szerint van 
. Bizonyítsuk be 
.
Vessünk 
önkényesen. Mert a A– pontos felső határ, van szám N
oly módon, hogy 
. Mivel a sorrend nem csökkenő, akkor mindenkinek 
nekünk van, i.e. 
, Ezért 
mindenkinek 
, és ez azt jelenti 
.
Az alább korlátos, nem növekvő sorozat esetén a bizonyítás hasonló a ( a tanulók ezt az állítást otthon maguk is bizonyítják). A tétel bizonyítást nyert.
Megjegyzés. Az 1. tétel többféleképpen is megfogalmazható.
Tétel 2. Ahhoz, hogy egy monoton sorozat konvergáljon, szükséges és elegendő, hogy korlátos legyen.
Az elégségességet az 1. tétel, a szükségességet a 2. tétel 5. pontjában állapítjuk meg.
A monotonitás feltétele nem szükséges egy sorozat konvergenciájához, mivel a konvergens sorozat nem feltétlenül monoton. Például a sorozat 
nem monoton, hanem a nullához konvergál.
Következmény. Ha a sorrend 
növekszik (csökken) és felülről (alulról) korlátozódik, akkor 
(
).
Valóban, az 1. tétel szerint 
(
).
Meghatározás 4. Ha 
nál nél 
, akkor a sorozatot hívják beágyazott szegmensek összehúzó rendszere
.
Tétel 3 (beágyazott szegmensek elve). Minden beágyazott szegmensből álló szerződéses rendszernek van, sőt, egyedi pontja is Val vel, amely ennek a rendszernek minden szegmenséhez tartozik.
Bizonyíték. Bizonyítsuk be a lényeget Val vel létezik. Mert a 
, Azt 
és ezért a sorrend 
nem csökken, hanem a sorrend 
nem növekszik. Ahol 
És 
korlátozott, mert. Ekkor az 1. Tétel szerint léteznek 
És 
, de azóta 
, Azt 
=
. Talált pont Val vel a rendszer minden szegmenséhez tartozik, mivel az 1. Tétel következményeként 
,
, azaz 
minden értékre n.
Mutassuk meg most a lényeget Val vel- az egyetlen. Tegyük fel, hogy két ilyen pont van: Val velÉs dés a bizonyosság kedvéért hagyjuk 
. Aztán a szegmens 
minden szegmenshez tartozik 
, azaz 
mindenkinek n, ami lehetetlen, hiszen 
és ezért egy bizonyos számtól kezdve, 
. A tétel bizonyítást nyert.
Vegyük észre, hogy itt az a lényeg, hogy a zárt intervallumokat vegyük figyelembe, pl. szegmensek. Ha az összehúzódási intervallumok rendszerét tekintjük, akkor az elv általánosságban téves. Például intervallumok 
, nyilván egy pontig összehúzódik 
, azonban pont 
nem tartozik ennek a rendszernek egyetlen intervallumához sem.
Nézzünk most példákat a konvergens monoton sorozatokra.
1) Szám e.
Nézzük most a sorrendet 
. Hogyan viselkedik? Bázis
fokon 
, Ezért 
? A másik oldalon, 
, A 
, Ezért 
? Vagy nincs határ?
E kérdések megválaszolásához vegye figyelembe a segédszekvenciát 
. Bizonyítsuk be, hogy csökken és alább korlátos. Ugyanakkor szükségünk lesz
Lemma. Ha 
, akkor minden természeti értékre n nekünk van
(Bernoulli egyenlőtlensége).
Bizonyíték. Használjuk a matematikai indukció módszerét.
Ha 
, Azt 
, azaz az egyenlőtlenség igaz.
Tegyük fel, hogy ez igaz rá 
és bizonyítsa érvényességét 
+1.
Jobb 
. Szorozzuk meg ezt az egyenlőtlenséget ezzel 
:
És így, . Ez azt jelenti, hogy a matematikai indukció elve szerint a Bernoulli-féle egyenlőtlenség minden természeti értékre igaz. n. A lemma bevált.
Mutassuk meg, hogy a sorrend 
csökken. Nekünk van
Bernoulli egyenlőtlensége 
, és ez azt jelenti, hogy a sorozat 
csökken.
Az egyenlőtlenségből az alulról jövő korlátosság következik 
Bernoulli egyenlőtlensége 
minden természeti értékre n.
Az 1. tétel szerint van 
, amelyet a betű jelöl e. Ezért 
.
Szám e irracionális és transzcendentális, e= 2,718281828… . Mint ismeretes, ez a természetes logaritmusok alapja.
Megjegyzések. 1) A Bernoulli-egyenlőtlenség ennek bizonyítására használható 
nál nél 
. Valóban, ha 
, Azt 
. Aztán Bernoulli egyenlőtlensége szerint azzal 
. Ezért at 
nekünk van 
, vagyis 
nál nél 
.
2) A fent tárgyalt példában a diploma alapja 
1-re hajlik, és a kitevő n- Nak nek 
, vagyis a forma bizonytalansága van 
. Az effajta bizonytalanságról, amint azt bemutattuk, a figyelemre méltó korlát árulkodik 
.
2)
(*)
Bizonyítsuk be, hogy ez a sorozat konvergál. Ehhez megmutatjuk, hogy alulról korlátos és nem növekszik. Ebben az esetben az egyenlőtlenséget használjuk 
mindenkinek 
, ami az egyenlőtlenség következménye 
.
Nekünk van 
lásd nagyobb az egyenlőtlenség! 
, azaz a sorozatot lent a szám határolja 
.
További, 
óta 
, azaz a sorrend nem növekszik.
Az 1. tétel szerint van 
, amit jelölünk x. Az egyenlőség (*) átadása a határértékig 
, kapunk
, azaz 
, ahol 
(a pluszjelet vesszük, mivel a sorozat minden tagja pozitív).
A (*) sorozatot használjuk a számításban 
hozzávetőlegesen, körülbelül. Mögött 
vegyünk bármilyen pozitív számot. Például keressük meg 
. Hadd 
. Akkor 
,. És így, 
.
3)
.
Nekünk van 
. Mert a 
nál nél 
, van egy szám N, olyan, hogy mindenkinek 
egyenlőtlenség érvényesül 
. Tehát a sorrend 
, valamilyen számból kiindulva N, csökken és alatta határos, hiszen 
minden értékre n. Ez azt jelenti, hogy az 1. Tétel szerint létezik 
. Mert a 
, nekünk van 
.
Így, 
.
4)
, jobb oldalon - n
gyökerei.
A matematikai indukció módszerével megmutatjuk 
minden értékre n. Nekünk van 
. Hadd 
. Ezután innen kapunk egy állítást, amely a matematikai indukció elvén alapul. Ezt a tényt felhasználva azt találjuk, i.e. utósorozat 
növekszik és felülről határos. Ezért létezik, mert 
.
És így, 
.
Néha ilyen sorozatokat hívnak szigorúan növekvő és, valamint az "V. o." kifejezés. minden feltételt kielégítő szekvenciákra vonatkozik Az ilyen sorozatokat nevezzük. szintén nem csökkenő. Minden fent határolt nem csökkenő sorozatnak van véges határa, és minden fent nem korlátos sorozatnak van egy végtelen határa, amely egyenlő a + végtelennel. L. D. Kudrjavcev.
Matematikai enciklopédia. - M.: Szovjet enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Nézze meg, mi az „INCURING SEQUENCE” más szótárakban:
növekvő sorrend- - [L.G. Sumenko. Angol-orosz szótár az információtechnológiáról. M.: Állami Vállalat TsNIIS, 2003.] Témák információtechnológia általában EN növekvő sorrendben ... Műszaki fordítói útmutató
A leghosszabb növekvő részsorozat megtalálásának feladata, hogy egy adott elemsorozatban megtaláljuk a leghosszabb növekvő részsorozatot. Tartalom 1 Problémafelvetés 2 Kapcsolódó algoritmusok ... Wikipédia
A monoton függvény olyan függvény, amelynek növekménye nem változtat előjelet, vagyis vagy mindig nem negatív, vagy mindig nem pozitív. Ha ezen felül a növekmény nem nulla, akkor a függvényt szigorúan monotonnak mondjuk. Tartalom 1 Definíciók 2 ... ... Wikipédia
Sorozat A számsorozat a számtér elemeinek sorozata. Numerikus számok... Wikipédia
Ez egy olyan sorozat, amelynek elemei nem csökkennek a szám növekedésével, vagy éppen ellenkezőleg, nem nőnek. Ilyen szekvenciákkal gyakran találkozunk a kutatás során, és számos megkülönböztető jegyük és további tulajdonságuk van.... ... Wikipédia
A monoton sorozat olyan sorozat, amely megfelel az alábbi feltételek egyikének: bármely számra érvényes az egyenlőtlenség (nem csökkenő sorozat), bármely számra érvényes az egyenlőtlenség (nem növekvő... ... Wikipédia
A számelmélet olyan ága, amelyben bizonyos aritmetikai tulajdonságokkal rendelkező számhalmazokat metrikusan (vagyis mértékelmélet alapján) vizsgálnak és jellemeznek. tulajdonságait. A M. t.h. szorosan kapcsolódik a valószínűségszámításhoz, ami néha lehetővé teszi... ... Matematikai Enciklopédia
Állítsa be, hogy bármely korlátos növekvő sorozatnak van határa, és ez a határ egyenlő a felső értékével. A bizonyítás egyszerűsége ellenére ez a tétel nagyon kényelmesnek bizonyul sok... ... Wikipédia határainak megtalálásához
Tétel, amely becslést ad két sorozat összegének sűrűségére. Legyen A=(0, a 1, a.2,..., a i, ...) egész számok növekvő sorozata, és a sorozat sűrűsége Anaz. a mennyiség kettő számtani összege.... Matematikai Enciklopédia
A tér konjugált az alapvető (elég jó) függvények teréhez. Itt fontos szerepet játszanak a Fréchet-terek (FS típusú) és az erősen konjugált terek (DFS típusúak). Az FS típusú tér egy kompakt projektív határértéke... ... Matematikai Enciklopédia
