Исходя из представления о наличии у электрона волновых свойств. Шредингер в 1925 г. предположил, что состояние движущегося в атоме электрона должно описываться известным в физике уравнением стоячей электромагнитной волны. Подставив в это уравнение вместо длины волны ее значение из уравнения де Бройля , он получил новое уравнение, связывающее энергию электрона с пространственными координатами и так называемой волновой функцией , соответствующей в этом уравнении амплитуде трехмерного волнового процесса.
Особенно важное значение для характеристики состояния электрона имеет волновая функция . Подобно амплитуде любого волнового процесса, она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однако величина всегда положительна. При этом она обладает замечательным свойством: чем больше значение в данной области пространства, тем выше вероятность того, что электрон проявит здесь свое действие, т. е. что его существование будет обнаружено в каком-либо физическом процессе.
Более точным будет следующее утверждение: вероятность обнаружения электрона в некотором малом объеме выражается произведением . Таким образом, сама величина выражает плотность вероятности нахождения электрона в соответствующей области пространства.
Рис. 5. Электронное облако атома водорода.
Для уяснения физического смысла квадрата волновой функции рассмотрим рис. 5, на котором изображен некоторый объем вблизи ядра атома водорода. Плотность размещения точек на рис. 5 пропорциональна значению в соответствующем месте: чем больше величина , тем гуще расположены точки. Если бы электрон обладал свойствами материальной точки, то рис. 5 можно было бы получить, многократно наблюдая атом водорода и каждый раз отмечая местонахождение электрона: плотность размещения точек на рисунке была бы тем больше, чем чаще обнаруживается электрон в соответствующей области пространства или, иначе говоря, чем больше вероятность обнаружения его в этой области.
Мы знаем, однако, что представление об электроне как о материальной точке не соответствует его истинной физической природе. Поэтому рис. 5 правильнее рассматривать как схематическое изображение электрона, «размазанного» по всему объему атома в виде так называемого электронного облака: чем плотнее расположены точки в том или ином месте, тем больше здесь плотность электронного облака. Иначе говоря, плотность электронного облака пропорциональна квадрату волновой функции.
Представление о состоянии электрона как о некотором облаке электрического заряда оказывается очень удобным, хорошо передает основные особенности поведения электрона в атомах и молекулах и будет часто использоваться в последующем изложении. При этом, однако, следует иметь в виду, что электронное облако не имеет определенных, резко очерченных границ: даже на большом расстоянии от ядра существует некоторая, хотя и очень малая, вероятность обнаружения электрона. Поэтому под электронным облаком условно будем понимать область пространства вблизи ядра атома, в которой сосредоточена преобладающая часть (например, ) заряда и массы электрона. Более точное определение этой области пространства дано на стр. 75.
Волновая функция
Wave function
Волновая функция
(или вектор состояния) – комплексная функция, описывающая состояние квантовомеханической
системы. Её знание позволяет получить максимально полные сведения о системе,
принципиально достижимые в микромире. Так с её помощью можно рассчитать
все измеряемые физические характеристики системы, вероятность пребывания
её в определенном месте пространства и эволюцию во времени. Волновая функция
может быть найдена в результате решения волнового уравнения Шредингера.
Волновая функция ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x,t)
точечной бесструктурной частицы является комплексной функцией координат
этой частицы и времени. Простейшим примером такой функции является волновая
функция свободной частицы с импульсом
и полной энергией Е (плоская волна)
.
Волновая функция системы А частиц содержит координаты
всех частиц: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Квадрат модуля волновой функции отдельной частицы | ψ (,t)| 2
= ψ *(,t) ψ (,t)
дает вероятность обнаружить частицу в момент времени t в точке пространства,
описываемой координатами
, а именно,
| ψ (,t)| 2 dv
≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz это
вероятность найти частицу в области пространства объемом dv = dxdydz вокруг
точки x, y, z. Аналогично, вероятность найти в момент времени t систему
А частиц с координатами
1 , 2 ,..., A
в элементе объема многомерного пространства дается величиной | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Волновая функция полностью определяет все физические характеристики
квантовой системы. Так среднее наблюдаемое значение физической величины
F у системы дается выражением
,
где
- оператор этой величины и интегрирование проводится по всей области многомерного
пространства.
В качестве независимых переменных волновой функции вместо координат
частиц x, y, z могут быть выбраны их импульсы p x , p y ,
p z или другие наборы физических величин. Этот выбор зависит от
представления (координатного, импульсного или другого).
Волновая функция ψ (,t)
частицы не учитывает ее внутренних характеристик и степеней свободы, т.
е. описывает ее движение как целого бесструктурного (точечного) объекта
по некой траектории (орбите) в пространстве. Этими внутренними характеристиками
частицы могут быть её спин, спиральность, изоспин (для сильновзаимодействующих
частиц), цвет (для кварков и глюонов) и некоторые другие. Внутренние характеристики
частицы задаются специальной волновой функцией её внутреннего состояния
φ. При этом полная волновая функция частицы Ψ может быть представлена в
виде произведения функции орбитального движения ψ и внутренней функции φ:
поскольку обычно внутренние характеристики частицы и её степени свободы,
описывающие орбитальное движение, не зависят друг от друга.
В качестве примера ограничимся случаем, когда единственной
внутренней характеристикой, учитываемой функцией
,
является спин частицы, причем этот спин равен 1/2. Частица с таким спином
может пребывать в одном из двух состояний − с проекцией спина на ось z,
равной +1/2 (спин вверх), и с проекцией спина на ось z, равной -1/2 (спин
вниз). Эту двойственность описывают спиновой функцией
взятой в виде
двухкомпонентного спинора:
Тогда волновая функция Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ
будет описывать движение частицы со спином 1/2, направленным вверх, по траектории,
определяемой функцией ψ , а волновая функция Ψ -1/2
= χ -1/2 ψ будет описывать движение по той же траектории
этой же частицы, но со спином, направленным вниз.
В заключении отметим, что в квантовой механике возможны такие
состояния, которые нельзя описать с помощью волновой функции. Такие состояния
называют смешанными и их описывают в рамках более сложного подхода, использующего
понятие матрицы плотности. Состояния квантовой системы, описываемые волновой
функцией, называют чистыми.
В координатном представлении волновая функция зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату её модуля , который интерпретируется как плотность вероятности (для дискретных спектров - просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами в момент времени :
Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией , можно рассчитать вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объема : 
.
Следует также отметить, что возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в опыте Ааронова - Бома.
Уравне́ние Шрёдингера - уравнение, описывающее изменение в пространстве (в общем случае, в конфигурационном пространстве) и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году.
Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения (уравнение Клейна - Гордона,уравнение Паули, уравнение Дирака и др.)
В начале XX века учёные пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Открытие уравнения Шрёдингера последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любым телам (в том числе и любым микрочастицам) присущи волновые свойства.
Исторически окончательной формулировке уравнения Шрёдингера предшествовал длительный период развития физики. Оно является одним из важнейших уравнений физики, объясняющих физические явления. Квантовая теория, однако, не требует полного отказа от законов Ньютона, а лишь определяет границы применимости классической физики. Следовательно, уравнение Шрёдингера должно согласовываться с законами Ньютона в предельном случае . Это подтверждается при более глубоком анализе теории: если размер и масса тела становятся макроскопическими и точность слежения за его координатой много хуже стандартного квантового предела, прогнозы квантовой и классическойтеорий совпадают, потому что неопределённый путь объекта становится близким к однозначной траектории.
Зависимое от времени уравнение
Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера - это форма, включающая зависимость от времени :
Пример нерелятивистского уравнения Шрёдингера в координатном представлении для точечной частицы массы , движущейся в потенциальном поле c потенциалом :
| Зависящее от времени уравнение Шрёдингера |
Формулировка
Общий случай
В квантовой физике вводится комплекснозначная функция , описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности). Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.
Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.
Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:
где , - постоянная Планка; - масса частицы, - внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке в момент времени , - оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:
30 вопрос Фундаментальные физические взаимодействия. Понятие физического вакуума в современной научной картине мира.
Взаимодействие. Все многообразие взаимодействий подразделяется в современной физической картине мира на 4 типа: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. По современным представлениям все взаимодействия имеют обменную природу, т.е. реализуются в результате обмена фундаментальными частицами – переносчиками взаимодействий. Каждое из взаимодействий характеризуется так называемой константой взаимодействия, которое определяет его сравнительную интенсивность, временем протекания и радиусом действия. Рассмотрим кратко эти взаимодействия.
1. Сильное взаимодействие обеспечивает связь нуклонов в ядре. Константа взаимодействия равна приблизительно 10 0 , радиус действия порядка
10 -15 , время протекания t »10 -23 с. Частицы – переносчики - p-мезоны.
2. Электромагнитное взаимодействие: константа порядка 10 -2 , радиус взаимодействия не ограничен, время взаимодействия t » 10 -20 с. Оно реализуется между всеми заряженными частицами. Частица – переносчик – фотон.
3. Слабое взаимодействие связано со всеми видами b-распада, многие распады элементарных частиц и взаимодействие нейтрино с веществом. Константа взаимодействия порядка 10 -13 , t » 10 -10 с. Это взаимодействие, как и сильное, является короткодействующим: радиус взаимодействияr»10 -18 м. (Частица – переносчик - векторный бозон).
4. Гравитационное взаимодействие является универсальным, однако в микромире учитывается, так как его константа равна 10 -38 , т.е. из всех взаимодействий является самым слабым и проявляется только при наличии достаточно больших масс. Его радиус действия не ограничен, время также не ограничено. Обменный характер гравитационного взаимодействия до сих пор остается под вопросом, так как гипотетическая фундаментальная частица гравитон пока не обнаружена.
Физический вакуум
Под физическим вакуумом в квантовой физике понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. При этом такое состояние вовсе не обязательно соответствует пустоте: поле в низшем состоянии может быть, например, полем квазичастиц в твёрдом теле или даже в ядре атома, где плотность чрезвычайно высока. Физическим вакуумом называют также полностью лишённое вещества пространство, заполненное полем в таком состоянии. Такое состояние не является абсолютной пустотой. Квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. В некоторых конкретных теориях поля вакуум может обладать нетривиальными топологическими свойствами. В теории могут существовать несколько различных вакуумов, различающихся плотностью энергии или другими физическими параметрами (в зависимости от применяемых гипотез и теорий). Вырождение вакуума приспонтанном нарушении симметрии приводит к существованию непрерывного спектра вакуумных состояний, отличающихся друг от друга числом голдстоуновских бозонов. Локальные минимумы энергии при разных значениях какого-либо поля, отличающиеся по энергии от глобального минимума, носят название ложных вакуумов; такие состояния метастабильны и стремятся распасться с выделением энергии, перейдя в истинный вакуум или в один из нижележащих ложных вакуумов.
Некоторые из этих предсказаний теории поля уже были успешно подтверждены экспериментом. Так, эффект Казимира и лэмбовский сдвиг атомных уровней объясняется нулевыми колебаниями электромагнитного поля в физическом вакууме. На некоторых других представлениях о вакууме базируются современные физические теории. Например, существование нескольких вакуумных состояний (упомянутых выше ложных вакуумов) является одной из главных основ инфляционной теории Большого взрыва.
31 вопрос Структурные уровни материи. Микромир. Макромир. Мегамир.
Структурные уровни материи
(1) - Характерной чертой материи является ее структура, поэтому одной из важнейших задач естествознания является исследование этой структуры.
В настоящее время принято, что наиболее естественным и наглядным признаком структуры материи являются характерный размер объекта на данном уровне и его масса. В соответствии с этими представлениями выделяются следующие уровни:
(3) - Понятие «микромир» охватывает фундаментальные и элементарные частицы, ядра, атомы и молекулы. Макромир представлен макромолекулами, веществами в различных агрегатных состояниях, живыми организмами, начиная с элементарное единицей живого – клетки, человеком и продуктами его деятельности, т.е. макротелами . Наиболее крупные объекты (планеты, звезды, галактики и их скопления образуют мегамир. Важно сознавать, что жестких границ между этими мирами нет, а речь идет лишь о различных уровнях рассмотрения материи.
Для каждого из рассмотренных основных уровней, в свою очередь, можно выделить подуровни, характеризуемые свой структурой, своими особенностями организации.
Изучение материи на ее различных структурных уровнях требует своих специфических средств и методов.
32 вопрос Эволюция Вселенной (Фридман, Хаббл, Гамов) и реликтовое излучение.
Экспериментальное подтверждение идеи Луи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречия ряда экспериментов с применяемыми в начале XX века теориями привели к новому этапу развития квантовой физики – созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-х годов XX века и связано, прежде всего, с работами австрийского физика Э. Шредингера, немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака.
Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т.е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно, хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.
Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность , а величина , названная амплитудой вероятности и обозначаемая . Эту величину называют также волновой функцией (или -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:
 |
(4.3.1) |
где , где – функция комплексно-сопряженная с Ψ.
Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический , вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волны де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени в области с координатами x и dx , y и dy , z и dz .
Итак, в квантовой механике состояние частицы описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых
| . | (4.3.2) |
Величина 
(квадрат модуля Ψ-функции) имеет смысл плотности вероятности
, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единице объема в окрестности точки
, имеющей
координаты
x
, y
, z
. Таким образом, физический смысл имеет не сама Ψ-функция, а квадрат ее модуля , которым определяется интенсивность волн де Бройля
.
Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V , согласно теореме о сложении вероятностей, равна:
.
Т.к. определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Ψ представить так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей:
| (4.3.3) |
где данный интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x , y , z от до . Таким образом, условие нормировки говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве.
Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть:
· конечной (вероятность не может быть больше единицы);
· однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной);
· непрерывной (вероятность не может меняться скачком).
Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями , , … , то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:
где (n = 1, 2, 3…) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.
Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории , в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.
Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояния микрообъектов . Например, среднее расстояние электрона от ядра вычисляется по формуле
,
Волнова́я фу́нкция , или пси-фу́нкция ψ {\displaystyle \psi } - комплекснозначная функция , используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы . Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):
| ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x , t) | x ⟩ d x {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx}
где | x ⟩ = | x 1 , x 2 , … , x n ⟩ {\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle } - координатный базисный вектор, а Ψ (x , t) = ⟨ x | ψ (t) ⟩ {\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle } - волновая функция в координатном представлении.
Нормированность волновой функции
Волновая функция Ψ {\displaystyle \Psi } по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:
∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 {\displaystyle {\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dV}=1}Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо в пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.
Принцип суперпозиции квантовых состояний
Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции , заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} и Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{2}} , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией
Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}} при любых комплексных c 1 {\displaystyle c_{1}} и c 2 {\displaystyle c_{2}} .
Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N}=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}} .
В таком состоянии квадрат модуля коэффициента c n {\displaystyle {c}_{n}} определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ n {\displaystyle {\Psi }_{n}} .
Поэтому для нормированных волновых функций ∑ n = 1 N | c n | 2 = 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1} .
Условия регулярности волновой функции
Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.
