Однако только этой характеристики ещё не достаточно для исследования случайной величины. Представим двух стрелков, которые стреляют по мишени. Один стреляет метко и попадает близко к центру, а другой… просто развлекается и даже не целится. Но что забавно, его средний результат будет точно таким же, как и у первого стрелка! Эту ситуацию условно иллюстрируют следующие случайные величины:
«Снайперское» математическое ожидание равно , однако и у «интересной личности»: – оно тоже нулевое!
Таким образом, возникает потребность количественно оценить, насколько далеко рассеяны пули (значения случайной величины) относительно центра мишени (математического ожидания). Ну а рассеяние с латыни переводится не иначе, как дисперсия .
Посмотрим, как определяется эта числовая характеристика на одном из примеров 1-й части урока:
Там мы нашли неутешительное математическое ожидание этой игры, и сейчас нам предстоит вычислить её дисперсию, которая обозначается через .
Выясним, насколько далеко «разбросаны» выигрыши/проигрыши относительно среднего значения. Очевидно, что для этого нужно вычислить разности между значениями случайной величины и её математическим ожиданием :
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
Теперь вроде бы нужно просуммировать результаты, но этот путь не годится – по той причине, что колебания влево будут взаимоуничтожаться с колебаниями вправо. Так, например, у стрелка-«любителя» (пример выше)
разности составят 
, и при сложении дадут ноль, поэтому никакой оценки рассеяния его стрельбы мы не получим.
Чтобы обойти эту неприятность можно рассмотреть модули
разностей, но по техническим причинам прижился подход, когда их возводят в квадрат. Решение удобнее оформить таблицей:
И здесь напрашивается вычислить средневзвешенное
значение квадратов отклонений. А это ЧТО такое? Это их математическое ожидание
, которое и является мерилом рассеяния:
– определение
дисперсии. Из определения сразу понятно, что дисперсия не может быть отрицательной
– возьмите на заметку для практики!
Вспоминаем, как находить матожидание. Перемножаем квадраты разностей на соответствующие вероятности (продолжение таблицы)
:
– образно говоря, это «сила тяги»,
и суммируем результаты:
Не кажется ли вам, что на фоне выигрышей результат получился великоватым? Всё верно – мы возводили в квадрат, и чтобы вернуться в размерность нашей игры, нужно извлечь квадратный корень. Данная величина называется средним квадратическим отклонением
и обозначается греческой буквой «сигма»:
Иногда это значение называют стандартным отклонением .
В чём его смысл? Если мы отклонимся от математического ожидания влево и вправо на среднее квадратическое отклонение:
– то на этом интервале будут «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Что мы, собственно, и наблюдаем:
Однако так сложилось, что при анализе рассеяния почти всегда оперируют понятием дисперсии. Давайте разберёмся, что она означает применительно к играм. Если в случае со стрелками речь идёт о «кучности» попаданий относительно центра мишени, то здесь дисперсия характеризует две вещи:
Во-первых, очевидно то, что при увеличении ставок, дисперсия тоже возрастает. Так, например, если мы увеличим в 10 раз, то математическое ожидание увеличится в 10 раз, а дисперсия – в 100 раз (коль скоро, это квадратичная величина) . Но, заметьте, что сами-то правила игры не изменились! Изменились лишь ставки, грубо говоря, раньше мы ставили 10 рублей, теперь 100.
Второй, более интересный момент состоит в том, что дисперсия характеризует стиль игры. Мысленно зафиксируем игровые ставки на каком-то определённом уровне , и посмотрим, что здесь к чему:
Игра с низкой дисперсией – это осторожная игра. Игрок склонен выбирать самые надёжные схемы, где за 1 раз он не проигрывает/выигрывает слишком много. Например, система «красное/чёрное» в рулетке (см. Пример 4 статьи Случайные величины ) .
Игра с высокой дисперсией. Её часто называют дисперсионной игрой. Это авантюрный или агрессивный стиль игры, где игрок выбирает «адреналиновые» схемы. Вспомним хотя бы «Мартингейл» , в котором на кону оказываются суммы, на порядки превосходящие «тихую» игру предыдущего пункта.
Показательна ситуация в покере: здесь есть так называемые тайтовые игроки, которые склонны осторожничать и «трястись» над своими игровыми средствами (банкроллом) . Неудивительно, что их банкролл не подвергается значительным колебаниям (низкая дисперсия). Наоборот, если у игрока высокая дисперсия, то это агрессор. Он часто рискует, делает крупные ставки и может, как сорвать огромный банк, так и програться в пух и прах.
То же самое происходит на Форексе, и так далее – примеров масса.
Причём, во всех случаях не важно – на копейки ли идёт игра или на тысячи долларов. На любом уровне есть свои низко- и высокодисперсионные игроки. Ну а за средний выигрыш, как мы помним, «отвечает» математическое ожидание .
Наверное, вы заметили, что нахождение дисперсии – есть процесс длительный и кропотливый. Но математика щедрА:
Формула для нахождения дисперсии
Данная формула выводится непосредственно из определения дисперсии, и мы незамедлительно пускаем её в оборот. Скопирую сверху табличку с нашей игрой:
и найденное матожидание .
Вычислим дисперсию вторым способом. Сначала найдём математическое ожидание – квадрата случайной величины . По определению математического ожидания
:
В данном случае:
Таким образом, по формуле:
Как говорится, почувствуйте разницу. И на практике, конечно, лучше применять формулу (если иного не требует условие).
Осваиваем технику решения и оформления:
Пример 6
Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Эта задача встречается повсеместно, и, как правило, идёт без содержательного смысла.
Можете представлять себе несколько лампочек с числами, которые загораются в дурдоме с определёнными вероятностями:)
Решение
: Основные вычисления удобно свести в таблицу. Сначала в верхние две строки записываем исходные данные. Затем рассчитываем произведения , затем и, наконец, суммы в правом столбце:
Собственно, почти всё готово. В третьей строке нарисовалось готовенькое математическое ожидание: 
.
Дисперсию вычислим по формуле:
И, наконец, среднее квадратическое отклонение:
– лично я обычно округляю до 2 знаков после запятой.
Все вычисления можно провести на калькуляторе, а ещё лучше – в Экселе:
вот здесь уже трудно ошибиться:)
Ответ :
Желающие могут ещё более упростить свою жизнь и воспользоваться моим калькулятором (демо) , который не только моментально решит данную задачу, но и построит тематические графики (скоро дойдём) . Программу можно скачать в библиотеке – если вы загрузили хотя бы один учебный материал, либо получить другим способом . Спасибо за поддержку проекта!
Пара заданий для самостоятельного решения:
Пример 7
Вычислить дисперсию случайной величины предыдущего примера по определению.
И аналогичный пример:
Пример 8
Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:
Да, значения случайной величины бывают достаточно большими (пример из реальной работы) , и здесь по возможности используйте Эксель. Как, кстати, и в Примере 7 – это быстрее, надёжнее и приятнее.
Решения и ответы внизу страницы.
В заключение 2-й части урока разберём ещё одну типовую задачу, можно даже сказать, небольшой ребус:
Пример 9
Дискретная случайная величина может принимать только два значения: и , причём . Известна вероятность , математическое ожидание и дисперсия .
Решение
: начнём с неизвестной вероятности. Так как случайная величина может принять только два значения, то сумма вероятностей соответствующих событий:
и поскольку , то .
Осталось найти …, легко сказать:) Но да ладно, понеслось. По определению математического ожидания:
– подставляем известные величины:
– и больше из этого уравнения ничего не выжать, разве что можно переписать его в привычном направлении:
или: 
О дальнейших действиях, думаю, вы догадываетесь. Составим и решим систему:
Десятичные дроби – это, конечно, полное безобразие; умножаем оба уравнения на 10:
и делим на 2:
Вот так-то лучше. Из 1-го уравнения выражаем:
(это более простой путь)
– подставляем во 2-е уравнение:
Возводим в квадрат
и проводим упрощения:
Умножаем на :
В результате получено квадратное уравнение
, находим его дискриминант:
– отлично!
и у нас получается два решения:
1) если 
, то 
;
2) если 
, то .
Условию удовлетворяет первая пара значений. С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, запишем закон распределения:
и выполним проверку, а именно, найдём матожидание:
Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины , то есть её отклонения от математического ожидания. В статистике для обозначения дисперсии часто употребляется обозначение (сигма в квадрате). Квадратный корень из дисперсии , равный , называется стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
Хотя для оценки всей выборки очень удобно использовать лишь одно значение (такое как среднее значение или моду и медиану), этот подход легко может привести к неправильным выводам. Причина такого положения лежит не в самой величине, а в том, что одна величина никак не отражает разброс значений данных.
Например, в выборке:
среднее значение равно 5.
Однако, в самой выборке нет ни одного элемента со значением 5. Возможно, Вам потребуется знать степень близости каждого элемента выборки к ее среднему значению. Или, другими словами, вам потребуется знать дисперсию значений. Зная степень изменения данных, Вы можете лучше интерпретировать среднее значение , медиану и моду . Степень изменения значений выборки определяется путем вычисления их дисперсии и стандартного отклонения.
Дисперсия и квадратный корень из дисперсии, называемый стандартным отклонением, характеризуют среднее отклонение от среднего значения выборки. Среди этих двух величин наибольшее значение имеет стандартное отклонение . Это значение можно представить как среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего элемента выборки.
Дисперсию трудно интерпретировать содержательно. Однако, квадратный корень из этого значения является стандартным отклонением и хорошо поддается интерпретации.
Стандартное отклонение вычисляется путем определения сначала дисперсии и затем вычисления квадратного корня из дисперсии.
Например, для массива данных, приведенных на рисунке, будут получены следующие значения:
Рисунок 1
Здесь среднее значение квадратов разностей равно 717,43. Для получения стандартного отклонения осталось лишь взять квадратный корень из этого числа.
Результат составит приблизительно 26,78.
Следует помнить, что стандартное отклонение интерпретируется как среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего значения выборки.
Стандартное отклонение показывает, насколько хорошо среднее значение описывает всю выборку.
Допустим, Вы являетесь руководителем производственного отдела по сборке ПК. В квартальном отчете говорится, что выпуск за последний квартал составил 2500 ПК. Плохо это или хорошо? Вы попросили (или уже в отчете есть эта графа) в отчете отобразить стандартное отклонение по этим данным. Цифра стандартного отклонения, например, равна 2000. Становится понятным для Вас, как руководителя отдела, что производственная линия требует лучшего управления (слишком большие отклонения по количеству собираемых ПК).
Вспомним: при большой величине стандартного отклонения данные широко разбросаны относительно среднего значения, а при маленькой – они группируются близко к среднему значению.
Четыре статистические функции ДИСП(), ДИСПР(), СТАНДОТКЛОН() и СТАНДОТКЛОНП() – предназначены для вычисления дисперсии и стандартного отклонения чисел в интервале ячеек. Перед тем как вычислять дисперсию и стандартное отклонение набора данных, нужно определить, представляют ли эти данные генеральную совокупность или выборку из генеральной совокупности. В случае выборки из генеральной совокупности следует использовать функции ДИСП() и СТАНДОТКЛОН(), а в случае генеральной совокупности – функции ДИСПР() и СТАНДОТЛОНП():
| Генеральная совокупность | Функция |
 | ДИСПР() |
 | СТАНДОТЛОНП() |
| Выборка | |
 | ДИСП() |
 | СТАНДОТКЛОН() |
Дисперсия (а так же стандартное отклонение), как мы отмечали, свидетельствуют о том, в какой степени входящие в набор данных величины разбросаны вокруг среднего арифметического.
Малое значение дисперсии или стандартного отклонения говорит о том, что все данные сосредоточены вокруг среднего арифметического, а большое значение этих величин – о том, что данные разбросаны в широком диапазоне значений.
Дисперсию достаточно трудно интерпретировать содержательно (что значит малое значение, большое значение?). Выполнение Задания 3 позволит визуально, на графике, показать смысл дисперсии для набора данных.
Задания
· Задание 1.
· 2.1. Дать понятия: дисперсия и стандартное отклонение; их символьное обозначение при статистической обработке данных.
· 2.2. Оформить рабочий лист в соответствии с рисунком 1 и произвести необходимые расчеты.
· 2.3. Привести основные формулы, используемые при расчетах
· 2.4. Пояснить все обозначения ( , , )
· 2.5. Пояснить практическое значение понятия дисперсия и стандартное отклонение.
Задание 2.
1.1. Дать понятия: генеральная совокупность и выборка; математическое ожидание и среднее арифметическое их символьное обозначение при статистической обработке данных.
1.2. В соответствии с рисунком 2 оформить рабочий лист и произвести расчеты.
1.3. Привести основные формулы, используемые при расчетах (для генеральной совокупности и выборке).
Рисунок 2
1.4. Объяснить, почему возможны получения таких значений средних арифметических в выборках как 46,43 и 48,78 (см. файл Приложение). Сделать выводы.
Задание 3.
Имеется две выборки с различным набором данных, но среднее для них будет одинаковым:
Рисунок 3
3.1. Оформить рабочий лист в соответствии с рисунком 3 и произвести необходимые расчеты.
3.2. Приведите основные формулы расчета.
3.3. Постройте графики в соответствии с рисунками 4, 5.
3.4. Поясните полученные зависимости.
3.5. Аналогичные вычисления проведите для данных двух выборок.
Исходная выборка 11119999
Значения второй выборки подбираете так, что бы среднее арифметическое для второй выборки было таким же, например,:
Подберите значения для второй выборки самостоятельно. Оформите вычисления и построения графиков подобно рисункам 3, 4, 5. Покажите основные формулы, которые использовали при вычислениях.
Сделайте соответствующие выводы.
Все задания оформить в виде отчета со всеми необходимыми рисунками, графиками, формулами и краткими пояснениями.
Примечание: построение графиков обязательно пояснить с рисунками и краткими пояснениями.
Виды дисперсий:
Общая дисперсия характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле
где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.
Средняя внутригрупповая дисперсия свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия:
где
n i -
число единиц в группе
Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки.
где - средняя величина по отдельной группе.
Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:
Свойства:
25 Относительные показатели вариации
|
Коэффициент осцилляции |
|
|
Относительное линейное отклонение |
|
|
Коэффициент вариации |
|
Коэф. Осц. о тражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. Отн. лин. откл . характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины. Коэф. Вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.
В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.
Закономерность рядов распределения. Моменты распределения. Показатели формы распределения
В вариационных рядах существует связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частоты сначала возрастает до определённой границы, а потом уменьшается. Такие изменения называются закономерностями распределения.
Форму распределения изучают с помощью показателей асимметрии и эксцесса. При исчислении указанных показателей используют моменты распределения.
Моментом k-го порядка называют среднюю из k-х степеней отклонений вариантов значений признака от некоторой постоянной величины. Порядок момента определяется величиной k. При анализе вариационных рядов ограничиваются расчетом моментов первых четырех порядков. При исчислении моментов в качестве весов могут быть использованы частоты или частости. В зависимости от выбора постоянной величины различают начальные, условные и центральные моменты.
Показатели формы распределения:
Асимметрия (As) показатель характеризующий степень асимметричности распределения.
Следовательно,
при (левосторонней) отрицательной
асимметрии 
.
При (правосторонней) положительной
асимметрии
.
Для расчета асимметрии можно использовать центральные моменты. Тогда:
,
где μ 3 – центральный момент третьего порядка.
- эксцесс (Е к ) характеризует крутизну графика функции в сравнении с с нормальным распределением при той же силе вариации:
,
где μ 4 – центральный момент 4-ого порядка.
Закон нормального распределения
Для нормального распределения (распределения Гаусса) функция распределения имеет следующий вид:
Матожидание- стандартное отклонение
Нормальное распределение симметрично и для него характерно следующее соотношение: Хср=Ме=Мо
Эксцесс нормального распределения равен 3, а коэффициент асимметрии 0.
Кривая нормального распределения представляет собой полигон(симметричная колокобразная прямая)
Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий. Сущность эмпирического коэффициента детерминации.
Если исходная совокупность разделена на группы по какому-то существенному признаку, то вычисляют следующие виды дисперсий:
Общая дисперсия исходной совокупности:
где - общая средняя величина исходной совокупности;f– частоты исходной совокупности. Общая дисперсия характеризует отклонение индивидуальных значений признака от общей средней величины исходной совокупности.
Внутригрупповые дисперсии:
где j- номер группы;- средняя величина в каждойj-ой группе;- частотыj-ой группы. Внутригрупповые дисперсии характеризуют отклонение индивидуального значения признака в каждой группе от групповой средней величины. Из всех внутригрупповых дисперсий вычисляют среднюю по формуле:, где- численность единиц в каждойj-ой группе.
Межгрупповая дисперсия:
Межгрупповая дисперсия характеризует отклонение групповых средних величин от общей средней величины исходной совокупности.
Правило сложения дисперсий заключается в том, что общая дисперсия исходной совокупности должна быть равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:
Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака, и рассчитывается по формуле:
Способ отсчета от условного нуля (способ моментов) для расчета средней величины и дисперсии
Расчет дисперсии способом моментов основан на использовании формулы и 3 и 4 свойств дисперсии.
(3.Если все значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то дисперсия новой совокупности не изменится.
4.Если все значения признака (варианты) увеличить (умножить) в К раз, где К – постоянное число, то дисперсия новой совокупности увеличится (уменьшится) в К 2 раз.)
Получим формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами способом моментов:
А- условный ноль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой)
Расчет средней величины способом моментов также основан на использовании свойств средней.
Понятие о выборочном наблюдении. Этапы исследования экономических явлений выборочным методом
Выборочным называют наблюдение, при котором обследованию и изучению подвергаются не все единицы исходной совокупности, а только часть единиц, при этом результат обследования части совокупности распространяется на всю исходную совокупность. Совокупность, из которой производится отбор единиц для дальнейшего обследования и изучения называется генеральной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсягенеральными .
Возможные пределы отклонений выборочной средней величины от генеральной средней величины называют ошибкой выборки .
Совокупность отобранных единиц называется выборочной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсявыборочными .
Выборочное исследование включает следующие этапы:
Характеристика объекта исследования (массовые экономические явления). Если генеральная совокупность небольшая, то выборку проводить не рекомендуется, необходимо сплошное исследование;
Расчет объема выборки. Важно определить оптимальный объем, который позволит при наименьших затратах получить ошибку выборки в пределах допустимой;
Проведение отбора единиц наблюдения с учетом требований случайности, пропорциональности.
Доказательство репрезентативности, основанное на оценке ошибки выборки. Для случайной выборки ошибка рассчитывается с использованием формул. Для целевой выборки репрезентативность оценивается с помощью качественных методов (сравнения, эксперимента);
Анализ выборочной совокупности. Если сформированная выборка отвечает требованиям репрезентативности, то проводится ее анализ с использованием аналитических показателей (средних, относительных и проч.)
Дисперсия
I
Диспе́рсия (от лат. dispersio - рассеяние)
в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. В статистическом понимании Д. есть среднее арифметическое из квадратов отклонений величин x i
от их среднего арифметического В теории вероятностей Д. случайной величины Х
называется Математическое ожидание Е (Х
- m х
) 2 квадрата отклонения Х
от её математического ожидания m х
= Е (Х
). Д. случайной величины Х
обозначается через D (X
) или через σ 2 X
. Квадратный корень из Д. (т. е. σ, если Д. есть σ 2) называется средним квадратичным отклонением (см. Квадратичное отклонение). Для случайной величины Х
с непрерывным распределением вероятностей, характеризуемым плотностью вероятности (См. Плотность вероятности) р
(х
), Д. вычисляется по формуле В теории вероятностей большое значение имеет теорема: Д. суммы независимых слагаемых равна сумме их Д. Не менее существенно Чебышева неравенство , позволяющее оценивать вероятность больших отклонений случайной величины Х
от её математического ожидания. Наличие Д. волн приводит к искажению формы сигналов при распространении их в среде. Это объясняется тем, что гармонические волны разных частот, на которые может быть разложен сигнал, распространяются с различной скоростью (подробнее см. Волны , Групповая скорость). Д. света при его распространении в прозрачной призме приводит к разложению белого света в спектр (см. Дисперсия света).
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Синонимы :Смотреть что такое "Дисперсия" в других словарях:
дисперсия - Рассеяние чего нибудь. В математике дисперсия определяет отклонение величин от среднего значения. Дисперсия белого света приводит к его разложению на составляющие. Дисперсия звука является причиной его расплывания. Рассеяние хранимых данных по… … Справочник технического переводчика
Современная энциклопедия
- (variance) Мера разброса данных. Дисперсия множества из N членов находится путем сложения квадратов их отклонений от среднего значения и деления на N. Поэтому, если членами являются хi при i = 1, 2,..., N, a их средним является m, дисперсия… … Экономический словарь
Дисперсия - (от латинского dispersio рассеяние) волн, зависимость скорости распространения волн в веществе от длины волны (частоты). Дисперсия определяется физическими свойствами той среды, в которой распространяются волны. Например, в вакууме… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
- (от лат. dispersio рассеяние) в математической статистике и теории вероятностей мера рассеивания (отклонения от среднего). В статистике дисперсия есть среднее арифметическое из квадратов отклонений наблюденных значений (x1, x2,...,xn) случайной… … Большой Энциклопедический словарь
В теории вероятностей наиболее употребительная мера отклонения от среднего (мера рассеяния). По английски: Dispersion Синонимы: Статистическая дисперсия Синонимы английские: Statistical dispersion См. также: Выборочные совокупности Финансовый… … Финансовый словарь
- [лат. dispersus рассеянный, рассыпанный] 1) рассеяние; 2) хим., физ. раздробление вещества на очень малые частицы. Д. света разложение белого света с помощью призмы в спектр; 3) мат. отклонение от среднего. Словарь иностранных слов. Комлев Н.Г.,… … Словарь иностранных слов русского языка
дисперсия - (варианса) показатель разброса данных, соответственный среднему квадрату отклонения этих данных от средней арифметической. Равна квадрату стандартного отклонения. Словарь практического психолога. М.: АСТ, Харвест. С. Ю. Головин. 1998 … Большая психологическая энциклопедия
Рассеяние, разброс Словарь русских синонимов. дисперсия сущ., кол во синонимов: 6 нанодисперсия (1) … Словарь синонимов
Дисперсия - характеристика рассеивания значений случайной величины, измеряемая квадратом их отклонений от среднего значения (обозначается d2). Различается Д. теоретического (непрерывного или дискретного) и эмпирического (также непрерывного и… … Экономико-математический словарь
Дисперсия - * дысперсія * dispersion 1. Рассеяние; разброс; вариация (см.). 2. Теоретико вероятностное понятие, характеризующее меру отклонения случайной величины от ее математического ожидания. В биометрической практике используется выборочная дисперсия s2 … Генетика. Энциклопедический словарь
Книги
- Аномальная дисперсия в широких полосах поглощения , Д.С. Рождественский. Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1934 года (издательство`Известия академии наук СССР`). В…
В предыдущем мы привели ряд формул, позволяющих находить числовые характеристики функций, когда известны законы распределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще обходимся без каких бы то ни было законов распределения. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимуществу такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.
В настоящем мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках функций, представляющих в своей совокупности весьма простой аппарат вычисления этих характеристик, применимый в широком круге условий.
1. Математическое ожидание неслучайной величины
Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:
.
2. Дисперсия неслучайной величины
Если - неслучайная величина, то
3. Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания
, (10.2.1)
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания.
Доказательство.
а) Для прерывных величин
б) Для непрерывных величин
.
4. Вынесение неслучайной величины за знак дисперсии и среднего квадратического отклонения
Если - неслучайная величина, а - случайная, то
, (10.2.2)
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.
Доказательство. По определению дисперсии
Следствие
,
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к.о. - существенно положительная величина.
5. Математическое ожидание суммы случайных величин
Докажем, что для любых двух случайных величин и
т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.
Доказательство.
а) Пусть - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:
.
Ho представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина примет значение :
;
следовательно,
.
Аналогично докажем, что
,
и теорема доказана.
б) Пусть - система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7)
. (10.2.4)
Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):
;
аналогично
,
и теорема доказана.
Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых.
Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:
, (10.2.5)
т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.
6. Математическое ожидание линейной функции
Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных аргументов :
где - неслучайные коэффициенты. Докажем, что
, (10.2.6)
т. е. математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.
Доказательство. Пользуясь теоремой сложения м. о. и правилом вынесения неслучайной величины за знак м. о., получим:
.
7. Дисп ep сия суммы случайных величин
Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:
Доказательство. Обозначим
По теореме сложения математических ожиданий
Перейдем от случайных величин к соответствующим центрированным величинам . Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем:
По определению дисперсии
что и требовалось доказать.
Формула (10.2.7) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:
,
(10.2.10)
где
-
корреляционный момент величин , знак под суммой обозначает, что суммирование
распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин 
.
Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.
Формула (10.2.10) может быть записана еще в другом виде:
, (10.2.11)
где
двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы
величин ,
содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.
Если все случайные величины , входящие в систему,
некоррелированы (т. е. при ), формула (10.2.10) принимает вид:
, (10.2.12)
т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.
Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.
8. Дисперсия линейной функции
Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных величин.
где - неслучайные величины.
Докажем, что дисперсия этой линейной функции выражается формулой
, (10.2.13)
где - корреляционный момент величин , .
Доказательство. Введем обозначение:
. (10.2.14)
Применяя к правой части выражения (10.2.14) формулу (10.2.10) для дисперсии суммы и учитывая, что , получим:
где - корреляционный момент величин :
.
Вычислим этот момент. Имеем:
;
аналогично
Подставляя это выражение в (10.2.15), приходим к формуле (10.2.13).
В частном случае, когда все
величины некоррелированны,
формула (10.2.13) принимает вид:
, (10.2.16)
т. е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.
9. Математическое ожидание произведения случайных величин
Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:
Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:
что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).
Если случайные величины некоррелированны , то формула (10.2.17) принимает вид:
т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.
Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:
. (10.2.19)
Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание.
Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае
, (10.2.20)
т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение легко доказывается методом полной индукции.
10. Дисперсия произведения независимых случайных величин
Докажем, что для независимых величин
Доказательство. Обозначим . По определению дисперсии
Так как величины независимы, и
При независимых величины тоже независимы; следовательно,
,
Но есть не что иное, как второй начальный момент величины , и, следовательно, выражается через дисперсию:
;
аналогично
.
Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).
В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:
, (10.2.23)
т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.
11. Высшие моменты суммы случайных величин
В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения.
1) Если величины независимы, то
Доказательство.
откуда по теореме умножения математических ожиданий
Но первый центральный момент для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана.
Соотношение (10.2.24) методом индукции легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых:
. (10.2.25)
2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой
где - дисперсии величин и .
Доказательство совершенно аналогично предыдущему.
Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых.
