Předpokládejme, že potřebujeme najít rovnici roviny procházející třemi danými body, které neleží na stejné přímce. Označením jejich poloměrových vektorů a aktuálního poloměrového vektoru snadno získáme požadovanou rovnici ve vektorovém tvaru. Ve skutečnosti musí být vektory koplanární (všechny leží v požadované rovině). Proto vektor-skalární součin těchto vektorů musí být roven nule:

Toto je rovnice roviny procházející třemi danými body ve vektorovém tvaru.

Přesuneme-li se na souřadnice, dostaneme rovnici v souřadnicích:

Pokud by tři dané body ležely na stejné čáře, pak by vektory byly kolineární. Proto by odpovídající prvky posledních dvou řádků determinantu v rovnici (18) byly proporcionální a determinant by byl shodně roven nule. V důsledku toho by se rovnice (18) stala identickou pro jakékoli hodnoty x, y a z. Geometricky to znamená, že každým bodem v prostoru prochází rovina, ve které leží tři dané body.

Poznámka 1. Stejný problém lze vyřešit bez použití vektorů.

Označením souřadnic tří daných bodů napíšeme rovnici libovolné roviny procházející prvním bodem:

Pro získání rovnice požadované roviny je nutné požadovat, aby rovnici (17) vyhovovaly souřadnice dvou dalších bodů:

Z rovnic (19) je nutné určit poměr dvou koeficientů ke třetímu a nalezené hodnoty zadat do rovnice (17).

Příklad 1. Napište rovnici pro rovinu procházející body.

Rovnice roviny procházející prvním z těchto bodů bude:

Podmínky pro to, aby rovina (17) prošla dvěma dalšími body a prvním bodem, jsou:

Přidáním druhé rovnice k první zjistíme:

Dosazením do druhé rovnice dostaneme:

Dosazením do rovnice (17) místo A, B, C, respektive 1, 5, -4 (čísla jim úměrná), dostaneme:

Příklad 2. Napište rovnici pro rovinu procházející body (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Rovnice libovolné roviny procházející bodem (0, 0, 0) bude]

Podmínky pro průchod této roviny body (1, 1, 1) a (2, 2, 2) jsou:

Zmenšíme-li druhou rovnici o 2, vidíme, že k určení dvou neznámých existuje jedna rovnice s

Odtud se dostáváme. Nyní dosadíme hodnotu roviny do rovnice a zjistíme:

Toto je rovnice požadované roviny; záleží na libovůli

veličiny B, C (totiž ze vztahu t.j. třemi danými body prochází nekonečně mnoho rovin (tři dané body leží na téže přímce).

Poznámka 2. Problém nakreslení roviny třemi danými body, které neleží na stejné přímce, lze snadno vyřešit v obecné podobě, pokud použijeme determinanty. Protože v rovnicích (17) a (19) nemohou být koeficienty A, B, C současně rovné nule, pak, když tyto rovnice považujeme za homogenní systém se třemi neznámými A, B, C, zapíšeme nezbytný a postačující podmínka pro existenci řešení tohoto systému, odlišného od nuly (část 1, kapitola VI, § 6):

Rozšířením tohoto determinantu na prvky prvního řádku získáme rovnici prvního stupně vzhledem k aktuálním souřadnicím, které budou splněny zejména souřadnice tří daných bodů.

Toto můžete také ověřit přímo nahrazením souřadnic kteréhokoli z těchto bodů místo . Na levé straně dostaneme determinant, ve kterém jsou buď prvky prvního řádku nuly, nebo jsou dva stejné řádky. Sestrojená rovnice tedy představuje rovinu procházející třemi danými body.

V této lekci se podíváme na to, jak použít determinant k vytvoření rovinná rovnice. Pokud nevíte, co je determinant, přejděte k první části lekce – „Matice a determinanty“. Jinak riskujete, že v dnešním materiálu ničemu nerozumíte.

Rovnice roviny pomocí tří bodů

Proč vůbec potřebujeme rovinnou rovnici? Je to jednoduché: když to víme, můžeme snadno vypočítat úhly, vzdálenosti a další kraviny v problému C2. Obecně se bez této rovnice neobejdete. Proto problém formulujeme:

Úkol. V prostoru jsou dány tři body, které neleží na stejné přímce. Jejich souřadnice:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x2,y2,z2);
K = (x 3, y3, z 3);

Musíte vytvořit rovnici pro rovinu procházející těmito třemi body. Navíc by rovnice měla vypadat takto:

Ax + By + Cz + D = 0

kde čísla A, B, C a D jsou koeficienty, které je ve skutečnosti třeba najít.

No, jak dostat rovnici roviny, když jsou známy pouze souřadnice bodů? Nejjednodušší je dosadit souřadnice do rovnice Ax + By + Cz + D = 0. Získáte systém tří rovnic, které lze snadno vyřešit.

Mnoho studentů považuje toto řešení za extrémně zdlouhavé a nespolehlivé. Loňská Jednotná státní zkouška z matematiky ukázala, že pravděpodobnost, že uděláte chybu ve výpočtu, je opravdu vysoká.

Nejpokročilejší učitelé proto začali hledat jednodušší a elegantnější řešení. A našli to! Pravda, získaná technika se vztahuje spíše k vyšší matematice. Osobně jsem se musel prohrabat celým Federálním seznamem učebnic, abych se ujistil, že máme právo tuto techniku používat bez jakéhokoli odůvodnění a důkazů.

Rovnice roviny přes determinant

Dost bylo textů, pojďme na věc. Na začátek věta o tom, jak spolu souvisí determinant matice a rovnice roviny.

Teorém. Nechť jsou dány souřadnice tří bodů, kterými musí být rovina vedena: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x2,y2,z2); K = (x 3, y 3, z 3). Potom lze rovnici této roviny zapsat pomocí determinantu:

Jako příklad zkusme najít dvojici rovin, které se skutečně vyskytují v úlohách C2. Podívejte se, jak rychle se vše počítá:

Ai = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Složíme determinant a přirovnáme jej k nule:

Rozšiřujeme determinant:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Jak vidíte, při výpočtu čísla d jsem rovnici trochu „učesal“, aby proměnné x, y a z byly ve správném pořadí. To je vše! Rovnice roviny je připravena!

Úkol. Napište rovnici pro rovinu procházející body:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Okamžitě dosadíme souřadnice bodů do determinantu:

Znovu rozšiřujeme determinant:

a = 11 z + 01 x + 10 y = z;
b = 11 x + 00 z + 11 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Takže rovnice roviny je opět získána! Opět jsme v posledním kroku museli změnit znaky v něm, abychom získali „krásnější“ vzorec. V tomto řešení to není vůbec nutné, ale přesto se to doporučuje - pro zjednodušení dalšího řešení problému.

Jak vidíte, skládání rovnice roviny je nyní mnohem jednodušší. Dosadíme body do matice, vypočítáme determinant - a je to, rovnice je hotová.

Tím by výuka mohla skončit. Mnoho studentů však neustále zapomíná, co je uvnitř determinantu. Například, který řádek obsahuje x 2 nebo x 3 a který řádek obsahuje pouze x. Abychom tomu skutečně zabránili, podívejme se, odkud každé číslo pochází.

Odkud pochází vzorec s determinantem?

Pojďme tedy zjistit, odkud pochází taková drsná rovnice s determinantem. To vám pomůže si to zapamatovat a úspěšně aplikovat.

Všechny roviny, které se objevují v úloze C2, jsou definovány třemi body. Tyto body jsou vždy vyznačeny na výkrese, případně i naznačeny přímo v textu úlohy. V každém případě, abychom vytvořili rovnici, budeme muset zapsat jejich souřadnice:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x2,y2,z2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Uvažujme další bod na naší rovině s libovolnými souřadnicemi:

T = (x, y, z)

Vezměte libovolný bod z prvních tří (například bod M) a nakreslete z něj vektory ke každému ze tří zbývajících bodů. Dostaneme tři vektory:

MN = (x 2 − x 1, y 2 − y 1, z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Nyní z těchto vektorů poskládejme čtvercovou matici a srovnejme její determinant s nulou. Souřadnice vektorů se stanou řádky matice - a dostaneme samotný determinant, který je naznačen ve větě:

Tento vzorec znamená, že objem kvádru postaveného na vektorech MN, MK a MT je roven nule. Všechny tři vektory tedy leží ve stejné rovině. Konkrétně libovolný bod T = (x, y, z) je přesně to, co jsme hledali.

Nahrazení bodů a čar determinantu

Determinanty mají několik skvělých vlastností, které to ještě usnadňují řešení problému C2. Například nám nezáleží na tom, z jakého bodu kreslíme vektory. Proto následující determinanty dávají stejnou rovinnou rovnici jako výše:

Můžete také prohodit řádky determinantu. Rovnice zůstane nezměněna. Mnoho lidí například rádo píše řádek se souřadnicemi bodu T = (x; y; z) úplně nahoře. Prosím, pokud je to pro vás výhodné:

Někoho mate, že jedna z čar obsahuje proměnné x, y a z, které při dosazování bodů nezmizí. Ale neměli by zmizet! Dosazením čísel do determinantu byste měli dostat tuto konstrukci:

Poté se determinant rozšíří podle schématu uvedeného na začátku lekce a získá se standardní rovnice roviny:

Ax + By + Cz + D = 0

Podívejte se na příklad. Je to poslední v dnešní lekci. Záměrně prohodím čáry, abych se ujistil, že odpověď bude dávat stejnou rovnici roviny.

Úkol. Napište rovnici pro rovinu procházející body:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1,1,0);
D1 = (0, 1, 1).

Zvažujeme tedy 4 body:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1,1,0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Nejprve vytvořte standardní determinant a srovnejte jej s nulou:

Rozšiřujeme determinant:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je vše, dostali jsme odpověď: x + y + z − 2 = 0.

Nyní přeskupíme pár řádků v determinantu a uvidíme, co se stane. Napišme například řádek s proměnnými x, y, z nikoli dole, ale nahoře:

Výsledný determinant opět rozšíříme:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 10 + y (−1) (−1) + (x − 1) 10 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dostali jsme úplně stejnou rovinnou rovnici: x + y + z − 2 = 0. To znamená, že opravdu nezáleží na pořadí řádků. Nezbývá než zapsat odpověď.

Jsme tedy přesvědčeni, že rovnice roviny nezávisí na posloupnosti přímek. Můžeme provést podobné výpočty a dokázat, že rovnice roviny nezávisí na bodu, jehož souřadnice odečteme od jiných bodů.

Ve výše uvedeném problému jsme použili bod B 1 = (1, 0, 1), ale bylo docela možné vzít C = (1, 1, 0) nebo D 1 = (0, 1, 1). Obecně jakýkoli bod se známými souřadnicemi ležící v požadované rovině.

V tomto materiálu se podíváme na to, jak najít rovnici roviny, pokud známe souřadnice tří různých bodů, které neleží na stejné přímce. K tomu si musíme zapamatovat, co je pravoúhlý souřadnicový systém v trojrozměrném prostoru. Pro začátek si představíme základní princip této rovnice a ukážeme si, jak přesně ji použít k řešení konkrétních problémů.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nejprve si musíme zapamatovat jeden axiom, který zní takto:

Definice 1

Pokud se tři body navzájem neshodují a neleží na stejné přímce, pak jimi v trojrozměrném prostoru prochází pouze jedna rovina.

Jinými slovy, pokud máme tři různé body, jejichž souřadnice se neshodují a které nelze spojit přímkou, pak můžeme určit rovinu, která jím prochází.

Řekněme, že máme pravoúhlý souřadnicový systém. Označme to O x y z. Obsahuje tři body M se souřadnicemi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), které nelze spojit přímka. Na základě těchto podmínek můžeme zapsat rovnici roviny, kterou potřebujeme. Existují dva přístupy k řešení tohoto problému.

1. První přístup používá obecnou rovinnou rovnici. Ve formě písmen se zapisuje jako A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. S jeho pomocí můžete definovat v pravoúhlém souřadném systému určitou alfa rovinu, která prochází prvním daným bodem M 1 (x 1, y 1, z 1). Ukazuje se, že normálový vektor roviny α bude mít souřadnice A, B, C.

Definice N

Když známe souřadnice normálového vektoru a souřadnice bodu, kterým rovina prochází, můžeme zapsat obecnou rovnici této roviny.

Z toho budeme v budoucnu vycházet.

Máme tedy podle podmínek úlohy souřadnice požadovaného bodu (i tří), kterým rovina prochází. Chcete-li najít rovnici, musíte vypočítat souřadnice jejího normálového vektoru. Označme to n → .

Připomeňme si pravidlo: libovolný nenulový vektor dané roviny je kolmý na normálový vektor téže roviny. Pak máme, že n → bude kolmé na vektory složené z původních bodů M 1 M 2 → a M 1 M 3 → . Pak můžeme označit n → jako vektorový součin tvaru M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Protože M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) a M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (důkazy těchto rovností jsou uvedeny v článku věnovaném výpočtu souřadnic vektoru ze souřadnic bodů), pak se ukazuje, že:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Pokud spočítáme determinant, získáme souřadnice normálového vektoru n → potřebujeme. Nyní můžeme napsat rovnici, kterou potřebujeme pro rovinu procházející třemi danými body.

2. Druhý přístup k nalezení rovnice procházející přes M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), je založen na takovém konceptu, jako je koplanarita vektorů.

Pokud máme množinu bodů M (x, y, z), pak v pravoúhlém souřadnicovém systému definují rovinu pro dané body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) pouze v případě, kdy vektory M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1), M 1 M 2 → = ( x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) a M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) budou koplanární .

V diagramu to bude vypadat takto:

To bude znamenat, že smíšený součin vektorů M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → bude roven nule: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , protože toto je hlavní podmínka koplanarity: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 z2 - zi) a M1M3 -> = (x3 - x 1, y3 - yi, z3 - zi).

Zapišme výslednou rovnici v souřadnicovém tvaru:

Poté, co spočítáme determinant, můžeme získat rovinnou rovnici, kterou potřebujeme pro tři body, které neleží na stejné přímce M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M3 (x 3, y3, z 3).

Z výsledné rovnice lze přejít k rovnici roviny v úsecích nebo k normální rovnici roviny, pokud to podmínky úlohy vyžadují.

V dalším odstavci uvedeme příklady, jak jsou námi naznačené přístupy implementovány v praxi.

Příklady úloh na sestavení rovnice roviny procházející 3 body

Dříve jsme identifikovali dva přístupy, které lze použít k nalezení požadované rovnice. Podívejme se, jak se používají k řešení problémů a kdy byste si měli jednotlivé vybrat.

Příklad 1

Existují tři body, které neleží na stejné přímce, se souřadnicemi M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napište rovnici pro rovinu, která jimi prochází.

Řešení

Střídavě používáme oba způsoby.

1. Najděte souřadnice dvou vektorů, které potřebujeme M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 -- 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Nyní spočítejme jejich vektorový součin. Nebudeme popisovat výpočty determinantu:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Máme normálový vektor roviny, který prochází třemi požadovanými body: n → = (- 5, 30, 2) . Dále musíme vzít jeden z bodů, například M 1 (- 3, 2, - 1), a zapsat rovnici pro rovinu s vektorem n → = (- 5, 30, 2). Dostaneme, že: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Toto je rovnice, kterou potřebujeme pro rovinu, která prochází třemi body.

2. Vezměme si jiný přístup. Zapišme rovnici pro rovinu se třemi body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v následující formulář:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Zde můžete nahradit data z výpisu problému. Protože x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, ve výsledku dostaneme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Dostali jsme rovnici, kterou jsme potřebovali.

Odpovědět:- 5 x + 30 y + 2 z - 73.

Co když ale dané body stále leží na stejné přímce a my pro ně potřebujeme vytvořit rovinnou rovnici? Zde je třeba hned říci, že tento stav nebude zcela správný. Takovými body může procházet nekonečné množství rovin, takže je nemožné vypočítat jedinou odpověď. Uvažujme takový problém, abychom dokázali nesprávnost takové formulace otázky.

Příklad 2

Máme pravoúhlý souřadnicový systém v trojrozměrném prostoru, ve kterém jsou umístěny tři body se souřadnicemi M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1). Pro rovinu, která jí prochází, je nutné napsat rovnici.

Řešení

Použijme první metodu a začněme výpočtem souřadnic dvou vektorů M 1 M 2 → a M 1 M 3 →. Vypočítejme jejich souřadnice: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Křížový součin se bude rovnat:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Protože M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, pak naše vektory budou kolineární (přečtěte si o nich znovu článek, pokud jste zapomněli definici tohoto pojmu). Počáteční body M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) jsou tedy na stejné přímce a náš problém má nekonečně mnoho možnosti odpověď.

Pokud použijeme druhou metodu, dostaneme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 r - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Z výsledné rovnosti dále vyplývá, že dané body M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) jsou na stejné přímce. .

Pokud chcete najít alespoň jednu odpověď na tento problém z nekonečného počtu jeho možností, musíte postupovat takto:

1. Zapište rovnici přímky M 1 M 2, M 1 M 3 nebo M 2 M 3 (v případě potřeby si prohlédněte materiál o tomto ději).

2. Vezměte bod M 4 (x 4, y 4, z 4), který neleží na přímce M 1 M 2.

3. Napište rovnici roviny, která prochází třemi různými body M 1, M 2 a M 4, které neleží na stejné přímce.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Rovnice roviny. Jak napsat rovnici roviny?
Vzájemné uspořádání rovin. Úkoly

Prostorová geometrie není o mnoho složitější než „plochá“ geometrie a naše lety ve vesmíru začínají tímto článkem. Pro zvládnutí tématu je třeba dobře rozumět vektory, navíc je vhodné se orientovat v geometrii roviny - bude zde mnoho podobností, mnoho analogií, takže informace budou mnohem lépe stráveny. V sérii mých lekcí se 2D svět otevírá článkem Rovnice přímky na rovině. Nyní ale Batman opustil plochou televizní obrazovku a startuje z kosmodromu Bajkonur.

Začněme kresbami a symboly. Schématicky lze rovinu nakreslit ve formě rovnoběžníku, který vytváří dojem prostoru:

Rovina je nekonečná, ale my máme možnost ztvárnit jen její kousek. V praxi se kromě rovnoběžníku kreslí i ovál nebo dokonce oblak. Z technických důvodů je pro mě pohodlnější znázornit letadlo přesně takto a přesně v této poloze. Skutečné roviny, které budeme uvažovat v praktických příkladech, mohou být umístěny jakýmkoli způsobem - mentálně vezměte kresbu do rukou a otočte ji v prostoru, čímž rovině poskytnete jakýkoli sklon, jakýkoli úhel.

Označení: letadla se obvykle označují malými řeckými písmeny, zřejmě aby nedošlo k jejich záměně přímka v rovině nebo s přímka v prostoru. Jsem zvyklý používat písmeno . Na výkresu je to písmeno „sigma“ a vůbec žádná díra. I když, děravé letadlo je určitě docela vtipné.

V některých případech je vhodné použít stejná řecká písmena s nižšími indexy pro označení rovin, například .

Je zřejmé, že rovina je jednoznačně definována třemi různými body, které neleží na stejné přímce. Proto jsou velmi oblíbená třípísmenná označení letadel - například podle bodů, které k nim patří atd. Písmena jsou často uzavřena v závorkách: , aby nedošlo k záměně roviny s jiným geometrickým obrazcem.

Pro zkušené čtenáře dám menu rychlého přístupu:

Jak vytvořit rovnici roviny pomocí bodu a dvou vektorů?
Jak vytvořit rovnici roviny pomocí bodu a normálového vektoru?

a nebudeme dlouho čekat:

Obecná rovinná rovnice

Obecná rovnice roviny má tvar , kde koeficienty se zároveň nerovnají nule.

Řada teoretických výpočtů a praktických problémů platí jak pro obvyklou ortonormální bázi, tak pro afinní bázi prostoru (pokud je olej olej, vraťte se k lekci Lineární (ne)závislost vektorů. Základy vektorů). Pro jednoduchost budeme předpokládat, že všechny události probíhají v ortonormální bázi a kartézském pravoúhlém systému souřadnic.

Nyní si trochu procvičíme prostorovou představivost. Nevadí, pokud je ten váš špatný, teď ho trochu rozvineme. I hraní na nervy vyžaduje trénink.

V nejobecnějším případě, kdy čísla nejsou rovna nule, rovina protíná všechny tři souřadnicové osy. Například takto:

Ještě jednou opakuji, že rovina pokračuje donekonečna všemi směry a my máme možnost znázornit jen její část.

Podívejme se na nejjednodušší rovnice rovin:

Jak rozumět této rovnici? Přemýšlejte o tom: „Z“ se VŽDY rovná nule pro jakékoli hodnoty „X“ a „Y“. Toto je rovnice "nativní" souřadnicové roviny. Formálně lze rovnici přepsat takto: , odkud jasně vidíte, že je nám jedno, jaké hodnoty „x“ a „y“ nabývají, je důležité, aby se „z“ rovnalo nule.

Rovněž:
– rovnice souřadnicové roviny;
– rovnice souřadnicové roviny.

Pojďme si problém trochu zkomplikovat, uvažujme rovinu (zde i dále v odstavci předpokládáme, že číselné koeficienty se nerovnají nule). Přepišme rovnici ve tvaru: . Jak tomu máme rozumět? „X“ se VŽDY pro jakékoli hodnoty „y“ a „z“ rovná určitému číslu. Tato rovina je rovnoběžná s rovinou souřadnic. Například rovina je rovnoběžná s rovinou a prochází bodem.

Rovněž:
– rovnice roviny, která je rovnoběžná s rovinou souřadnic;
– rovnice roviny, která je rovnoběžná s rovinou souřadnic.

Přidejme členy: . Rovnici lze přepsat následovně: , to znamená, že „zet“ může být cokoliv. Co to znamená? „X“ a „Y“ jsou spojeny vztahem, který kreslí určitou přímku v rovině (zjistíte rovnice přímky v rovině?). Protože „z“ může být libovolné, tato přímka se „replikuje“ v jakékoli výšce. Rovnice tedy definuje rovinu rovnoběžnou se souřadnicovou osou

Rovněž:
– rovnice roviny, která je rovnoběžná se souřadnicovou osou;
– rovnice roviny, která je rovnoběžná se souřadnicovou osou.

Pokud jsou volné členy nula, pak budou roviny přímo procházet odpovídajícími osami. Například klasická „přímá úměrnost“: . Nakreslete přímku v rovině a v duchu ji vynásobte nahoru a dolů (protože „Z“ je libovolné). Závěr: rovina definovaná rovnicí prochází souřadnicovou osou.

Dokončujeme přehled: rovnice roviny prochází počátkem. Zde je zcela zřejmé, že bod splňuje tuto rovnici.

A nakonec případ znázorněný na obrázku: – rovina je přátelská ke všem souřadnicovým osám, přičemž vždy „odřízne“ trojúhelník, který může být umístěn v kterémkoli z osmi oktantů.

Lineární nerovnosti v prostoru

Abyste porozuměli informacím, musíte je dobře studovat lineární nerovnosti v rovině, protože mnoho věcí bude podobných. Odstavec bude mít charakter stručného přehledu s několika příklady, protože materiál je v praxi poměrně vzácný.

Pokud rovnice definuje rovinu, pak nerovnosti
dotázat se poloprostory. Pokud není nerovnost striktní (poslední dvě v seznamu), pak řešení nerovnosti kromě poloprostoru zahrnuje i samotnou rovinu.

Příklad 5

Najděte jednotkový normálový vektor roviny .

Řešení: Jednotkový vektor je vektor, jehož délka je jedna. Označme tento vektor . Je naprosto jasné, že vektory jsou kolineární:

Nejprve odstraníme normálový vektor z rovnice roviny: .

Jak najít jednotkový vektor? Abyste našli jednotkový vektor, potřebujete každý vydělte vektorovou souřadnici délkou vektoru.

Přepišme normální vektor do formuláře a najdeme jeho délku:

Podle výše uvedeného:

Odpovědět:

Verifikace: co bylo požadováno k ověření.

Čtenáři, kteří pozorně studovali poslední odstavec lekce, si toho pravděpodobně všimli souřadnice jednotkového vektoru jsou přesně směrové kosiny vektoru:

Pojďme si odpočinout od aktuálního problému: když dostanete libovolný nenulový vektor, a podle podmínky je potřeba najít její směrové kosiny (viz poslední úlohy lekce Bodový součin vektorů), pak ve skutečnosti najdete jednotkový vektor kolineární s tímto. Vlastně dva úkoly v jedné lahvičce.

Potřeba najít jednotkový normálový vektor vyvstává v některých problémech matematické analýzy.

Přišli jsme na to, jak vylovit normální vektor, nyní odpovězme na opačnou otázku:

Jak vytvořit rovnici roviny pomocí bodu a normálového vektoru?

Tato tuhá konstrukce normálního vektoru a bodu je terčům dobře známá. Natáhněte prosím ruku dopředu a v duchu vyberte libovolný bod v prostoru, například malou kočku v příborníku. Je zřejmé, že tímto bodem můžete nakreslit jednu rovinu kolmou k vaší ruce.

Rovnice roviny procházející bodem kolmým k vektoru je vyjádřena vzorcem:

Aby mohla být jedna rovina vedena libovolnými třemi body v prostoru, je nutné, aby tyto body neležely na stejné přímce.

Uvažujme body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v obecné kartézské soustavě souřadnic.

Aby libovolný bod M(x, y, z) ležel ve stejné rovině s body M 1, M 2, M 3, je nutné, aby vektory byly koplanární.

(
) = 0

Tím pádem,

Rovnice roviny procházející třemi body:

Rovnice roviny dané dvěma body a vektorem kolineárním k rovině.

Nechť jsou dány body M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) a vektor
.

Vytvořme rovnici pro rovinu procházející danými body M 1 a M 2 a libovolným bodem M (x, y, z) rovnoběžným s vektorem .

vektory
a vektor
musí být koplanární, tzn.

(
) = 0

Rovinná rovnice:

Rovnice roviny pomocí jednoho bodu a dvou vektorů,

kolineární k rovině.

Nechť jsou dány dva vektory
A
, kolineární roviny. Pak pro libovolný bod M(x, y, z) patřící do roviny, vektory
musí být koplanární.

Rovinná rovnice:

Rovnice roviny bodem a normálovým vektorem .

Teorém. Je-li bod M dán v prostoru 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), pak rovnice roviny procházející bodem M 0 kolmo na normálový vektor (A, B, C) má tvar:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Důkaz. Pro libovolný bod M(x, y, z) patřící do roviny sestavíme vektor. Protože vektor je normálový vektor, pak je kolmý k rovině, a tedy kolmý k vektoru
. Pak skalární součin

= 0

Získáme tak rovnici roviny

Věta byla prokázána.

Rovnice roviny v úsecích.

Pokud v obecné rovnici Ax + Bi + Cz + D = 0 dělíme obě strany (-D)

nahrazovat
, získáme rovnici roviny v úsecích:

Čísla a, b, c jsou průsečíky roviny s osami x, y, z.

Rovnice roviny ve vektorovém tvaru.

Kde

- vektor poloměru aktuálního bodu M(x, y, z),

Jednotkový vektor mající směr kolmice svržené do roviny z počátku.

,  a  jsou úhly, které svírá tento vektor s osami x, y, z.

p je délka této kolmice.

V souřadnicích tato rovnice vypadá takto:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Vzdálenost od bodu k rovině.

Vzdálenost od libovolného bodu M 0 (x 0, y 0, z 0) k rovině Ax+By+Cz+D=0 je:

Příklad. Najděte rovnici roviny s vědomím, že bod P(4; -3; 12) je základna kolmice pokleslé z počátku do této roviny.

Takže A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, použijeme vzorec:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Příklad. Najděte rovnici roviny procházející dvěma body P(2; 0; -1) a

Q(1; -1; 3) kolmá k rovině 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normálový vektor k rovině 3x + 2y – z + 5 = 0
rovnoběžně s požadovanou rovinou.

Dostaneme:

Příklad. Najděte rovnici roviny procházející body A(2, -1, 4) a

B(3, 2, -1) kolmo k rovině X + na + 2z – 3 = 0.

Požadovaná rovnice roviny má tvar: A X+B y+C z+ D = 0, normálový vektor k této rovině (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) patří do roviny. Rovina, která je nám dána, kolmá k požadované rovině, má normálový vektor (1, 1, 2). Protože body A a B patří oběma rovinám a roviny jsou tedy vzájemně kolmé

Takže normální vektor (11, -7, -2). Protože bod A patří do požadované roviny, pak jeho souřadnice musí splňovat rovnici této roviny, tzn. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Celkem dostaneme rovnici roviny: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Příklad. Najděte rovnici roviny s vědomím, že bod P(4, -3, 12) je základna kolmice pokleslé z počátku do této roviny.

Zjištění souřadnic normálového vektoru
= (4, -3, 12). Požadovaná rovnice roviny má tvar: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Abychom našli koeficient D, dosadíme souřadnice bodu P do rovnice:

16 + 9 + 144 + D = 0

Celkem dostaneme požadovanou rovnici: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Příklad. Jsou uvedeny souřadnice vrcholů pyramidy: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Najděte délku hrany A 1 A 2.

Najděte úhel mezi hranami A 1 A 2 a A 1 A 4.

Najděte úhel mezi hranou A 1 A 4 a plochou A 1 A 2 A 3.

Nejprve najdeme normálový vektor k ploše A 1 A 2 A 3 jako křížový produkt vektorů
A
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Pojďme najít úhel mezi normálovým vektorem a vektorem
.

-4 – 4 = -8.

Požadovaný úhel  mezi vektorem a rovinou bude roven  = 90 0 - .

Najděte oblast obličeje A 1 A 2 A 3.

Najděte objem pyramidy.

Najděte rovnici roviny A 1 A 2 A 3.

Použijme vzorec pro rovnici roviny procházející třemi body.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Při použití počítačové verze „ Vyšší kurz matematiky” můžete spustit program, který vyřeší výše uvedený příklad pro libovolné souřadnice vrcholů jehlanu.

Pro spuštění programu dvakrát klikněte na ikonu:

V okně programu, které se otevře, zadejte souřadnice vrcholů jehlanu a stiskněte Enter. Tímto způsobem lze postupně získat všechny rozhodovací body.

Poznámka: Chcete-li program spustit, musíte mít na svém počítači nainstalovaný program Maple ( Waterloo Maple Inc.), libovolnou verzi začínající MapleV Release 4.