V souřadnicové reprezentaci závisí vlnová funkce na souřadnicích (nebo zobecněných souřadnicích) systému. Fyzikální význam je přiřazen druhé mocnině jeho modulu, který je interpretován jako hustota pravděpodobnosti (pro diskrétní spektra - jednoduše pravděpodobnost) pro detekci systému v poloze popsané souřadnicemi v okamžiku:
Potom v daném kvantovém stavu systému, popsaném vlnovou funkcí, můžeme vypočítat pravděpodobnost, že částice bude detekována v jakékoli oblasti prostoru konečného objemu: 
.
Je třeba také poznamenat, že je také možné měřit fázové rozdíly ve vlnové funkci, například v experimentu Aharonov-Bohm.
Schrödingerova rovnice- rovnice, která popisuje změnu v prostoru (v obecném případě v konfiguračním prostoru) a v čase čistého stavu specifikovaného vlnovou funkcí v hamiltonovských kvantových systémech. Hraje v kvantové mechanice stejně důležitou roli jako rovnice druhého Newtonova zákona v klasické mechanice. Lze ji nazvat pohybovou rovnicí kvantové částice. Instaloval Erwin Schrödinger v roce 1926.
Schrödingerova rovnice je určena pro bezotáčivé částice pohybující se rychlostí mnohem nižší, než je rychlost světla. V případě rychlých částic a částic se spinem se používají jeho zobecnění (Klein-Gordonova rovnice, Pauliho rovnice, Diracova rovnice atd.)
Na začátku 20. století vědci došli k závěru, že mezi předpověďmi klasické teorie a experimentálními daty o struktuře atomu existuje řada nesrovnalostí. Objev Schrödingerovy rovnice následoval de Broglieho revoluční předpoklad, že nejen světlo, ale i jakákoli tělesa obecně (včetně jakýchkoliv mikročástic) mají vlnové vlastnosti.
Historicky konečné formulaci Schrödingerovy rovnice předcházelo dlouhé období vývoje ve fyzice. Je to jedna z nejdůležitějších rovnic ve fyzice, která vysvětluje fyzikální jevy. Kvantová teorie však nevyžaduje úplné odmítnutí Newtonových zákonů, ale pouze definuje hranice použitelnosti klasické fyziky. Proto musí být Schrödingerova rovnice v souladu s Newtonovými zákony limitující případ. To je potvrzeno hlubší analýzou teorie: pokud se velikost a hmotnost tělesa stane makroskopickou a přesnost sledování jeho souřadnic je mnohem horší než standardní kvantová limita, předpovědi kvantové a klasické teorie se shodují, protože nejistá dráha objektu se přibližuje k jednoznačné trajektorii.
Časově závislá rovnice
Nejobecnější formou Schrödingerovy rovnice je forma, která zahrnuje časovou závislost:
Příklad nerelativistické Schrödingerovy rovnice v souřadnicové reprezentaci pro bodovou částici hmoty pohybující se v potenciálním poli s potenciálem:
| Časově závislá Schrödingerova rovnice |
Formulace
Obecný případ
V kvantové fyzice je zavedena funkce s komplexní hodnotou, která popisuje čistý stav objektu, který se nazývá vlnová funkce. V nejběžnější kodaňské interpretaci tato funkce souvisí s pravděpodobností nalezení objektu v jednom z čistých stavů (druhá mocnina modulu vlnové funkce představuje hustotu pravděpodobnosti). Chování hamiltonovského systému v čistém stavu je kompletně popsáno vlnovou funkcí.
Poté, co jsme opustili popis pohybu částice pomocí trajektorií získaných ze zákonů dynamiky a místo toho jsme definovali vlnovou funkci, je nutné zavést v úvahu rovnici, která je ekvivalentní Newtonovým zákonům a poskytuje recept na hledání řešení. konkrétní fyzické problémy. Takovou rovnicí je Schrödingerova rovnice.
Nechť je vlnová funkce dána v n-rozměrném konfiguračním prostoru, pak v každém bodě se souřadnicemi , v určitém okamžiku t bude to vypadat. V tomto případě bude Schrödingerova rovnice zapsána takto:
kde , je Planckova konstanta; - hmotnost částice, - potenciální energie vnější vzhledem k částici v určitém okamžiku, - Laplaceův operátor (nebo Laplacián), je ekvivalentní druhé mocnině operátoru Nabla a v n-rozměrném souřadnicovém systému má tvar:
Otázka 30 Základní fyzikální interakce. Pojem fyzikálního vakua v moderním vědeckém obrazu světa.
Interakce. Celá paleta interakcí je v moderním fyzikálním obrazu světa rozdělena do 4 typů: silné, elektromagnetické, slabé a gravitační. Všechny interakce jsou podle moderních koncepcí směnného charakteru, tzn. se realizují jako výsledek výměny fundamentálních částic - nositelů interakcí. Každá z interakcí je charakterizována tzv. interakční konstantou, která určuje její komparativní intenzitu, dobu trvání a rozsah působení. Podívejme se krátce na tyto interakce.
1. Silná interakce zajišťuje spojení nukleonů v jádře. Interakční konstanta je přibližně 10 0, rozsah působení je asi
10 -15, doba průtoku t »10 -23 s. Částice - nosiče - p-mezony.
2. Elektromagnetická interakce: konstanta řádu 10 -2, interakční rádius není omezen, doba interakce t » 10 -20 s. Realizuje se mezi všemi nabitými částicemi. Částice – nosič – foton.
3. Slabá interakce spojené se všemi typy b-rozpadu, mnoha rozpady elementárních částic a interakcí neutrin s hmotou. Interakční konstanta je asi 10 -13, t » 10 -10 s. Tato interakce, stejně jako ta silná, je krátkodosahová: interakční poloměr je 10 -18 m (částice - nosič - vektor boson).
4. Gravitační interakce je univerzální, ale v mikrokosmu se s ním počítá, jelikož jeho konstanta je 10 -38, tzn. ze všech interakcí je nejslabší a projevuje se pouze v přítomnosti dostatečně velkých hmot. Jeho rozsah je neomezený a jeho čas je také neomezený. Výměnná povaha gravitační interakce stále zůstává v pochybnost, protože hypotetická fundamentální částice graviton dosud nebyla objevena.
Fyzikální vakuum
V kvantové fyzice je fyzikální vakuum chápáno jako nejnižší (přízemní) energetický stav kvantovaného pole, které má nulovou hybnost, moment hybnosti a další kvantová čísla. Takový stav navíc nemusí nutně odpovídat prázdnotě: polem v nejnižším stavu může být například pole kvazičástic v pevné látce nebo dokonce v jádře atomu, kde je hustota extrémně vysoká. Fyzikální vakuum se také nazývá prostor zcela bez hmoty, vyplněný polem v tomto stavu. Tento stav není absolutní prázdnotou. Kvantová teorie pole tvrdí, že v souladu s principem neurčitosti se virtuální částice neustále rodí a mizí ve fyzickém vakuu: dochází k takzvaným oscilacím pole s nulovým bodem. V některých specifických teoriích pole může mít vakuum netriviální topologické vlastnosti. Teoreticky může existovat několik různých vakuů, které se liší hustotou energie nebo jinými fyzikálními parametry (v závislosti na použitých hypotézách a teoriích). Degenerace vakua se spontánním narušením symetrie vede k existenci spojitého spektra vakuových stavů, které se od sebe liší počtem Goldstoneových bosonů. Místní energetická minima při různých hodnotách jakéhokoli pole, které se liší energií od globálního minima, se nazývají falešné vakuum; takové stavy jsou metastabilní a mají tendenci se rozpadat s uvolněním energie, přecházet do skutečného vakua nebo do jednoho ze základních falešných vakuů.
Některé z těchto předpovědí teorie pole již byly úspěšně potvrzeny experimentem. Casimirův jev a Lambův posun atomových hladin jsou tedy vysvětlovány oscilacemi elektromagnetického pole ve fyzickém vakuu v nulovém bodě. Moderní fyzikální teorie jsou založeny na některých jiných představách o vakuu. Například existence několika vakuových stavů (falešná vakua zmíněná výše) je jedním z hlavních základů inflační teorie velkého třesku.
31 otázek Strukturální úrovně hmoty. Mikrosvět. Makrosvět. Megasvět.
Strukturální úrovně hmoty
(1) - Charakteristickým rysem hmoty je její struktura, proto je jedním z nejdůležitějších úkolů přírodních věd studium této struktury.
V současnosti se uznává, že nejpřirozenějším a nejzřetelnějším znakem struktury hmoty je charakteristická velikost předmětu na dané úrovni a jeho hmotnost. V souladu s těmito myšlenkami se rozlišují následující úrovně:
(3) - Pojem „mikrosvět“ zahrnuje základní a elementární částice, jádra, atomy a molekuly. Makrosvět představují makromolekuly, látky v různých stavech agregace, živé organismy počínaje elementární jednotkou živých věcí - buňkami, člověkem a produkty jejich činnosti, tzn. makrotěles. Největší objekty (planety, hvězdy, galaxie a jejich kupy tvoří megasvět. Je důležité si uvědomit, že mezi těmito světy neexistují žádné tvrdé hranice a bavíme se pouze o různých úrovních zohlednění hmoty.
Pro každou z uvažovaných hlavních úrovní lze rozlišit dílčí úrovně, které se vyznačují vlastní strukturou a vlastními organizačními rysy.
Studium hmoty na jejích různých strukturních úrovních vyžaduje vlastní specifické prostředky a metody.
Otázka 32 Evoluce vesmíru (Friedmann, Hubble, Gamow) a kosmické mikrovlnné záření na pozadí.
> Funkce vlny
Číst o vlnová funkce a teorie pravděpodobnosti kvantové mechaniky: podstata Schrödingerovy rovnice, stav kvantové částice, harmonický oscilátor, diagram.
Mluvíme o amplitudě pravděpodobnosti v kvantové mechanice, která popisuje kvantový stav částice a její chování.
Cíl učení
- Zkombinujte vlnovou funkci a hustotu pravděpodobnosti identifikace částice.
Hlavní body
- |ψ| 2 (x) odpovídá hustotě pravděpodobnosti identifikace částice v konkrétním místě a okamžiku.
- Zákony kvantové mechaniky charakterizují vývoj vlnové funkce. Schrödingerova rovnice vysvětluje její název.
- Vlnová funkce musí splňovat mnoho matematických omezení pro výpočet a fyzikální interpretaci.
Podmínky
- Schrödingerova rovnice je parciální diferenciál charakterizující změnu stavu fyzikálního systému. Byl formulován v roce 1925 Erwinem Schrödingerem.
- Harmonický oscilátor je systém, který je při posunutí z původní polohy ovlivněn silou F úměrnou výchylce x.
V rámci kvantové mechaniky vlnová funkce odráží amplitudu pravděpodobnosti, která charakterizuje kvantový stav částice a její chování. Obvykle je hodnotou komplexní číslo. Nejběžnější symboly pro vlnovou funkci jsou ψ (x) nebo Ψ(x). Ačkoli ψ je komplexní číslo, |ψ| 2 – reálná a odpovídá hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v konkrétním místě a čase.
Zde jsou trajektorie harmonického oscilátoru zobrazeny v klasickém (A-B) a kvantovém (C-H) mechanika. Kvantová koule má vlnovou funkci zobrazenou se skutečnou částí modře a imaginární částí červeně. TrajektorieC-F – příklady stojatého vlnění. Každá taková frekvence bude úměrná možné energetické úrovni oscilátoru
Zákony kvantové mechaniky se v průběhu času vyvíjejí. Vlnová funkce se podobá jiným, jako jsou vlny ve vodě nebo struna. Faktem je, že Schrödingerův vzorec je typ vlnové rovnice v matematice. To vede k dualitě vlnových částic.
Vlnová funkce musí splňovat následující omezení:
- vždy konečná.
- vždy spojité a průběžně diferencovatelné.
- splňuje vhodné podmínky normalizace pro existenci částice se 100% jistotou.
Nejsou-li požadavky splněny, nelze vlnovou funkci interpretovat jako pravděpodobnostní amplitudu. Pokud tyto pozice ignorujeme a použijeme vlnovou funkci k určení pozorování kvantového systému, nedostaneme konečné a určité hodnoty.
Objev vlnových vlastností mikročástic ukázal, že klasická mechanika nemůže poskytnout správný popis chování takových částic. Teorie, která pokrývá všechny vlastnosti elementárních částic, musí brát v úvahu nejen jejich korpuskulární vlastnosti, ale také jejich vlnové vlastnosti. Z dříve diskutovaných experimentů vyplývá, že svazek elementárních částic má vlastnosti rovinné vlny šířící se ve směru rychlosti částice. V případě šíření podél osy lze tento vlnový proces popsat de Broglieho vlnovou rovnicí (7.43.5):
(7.44.1)
kde je energie a je hybnost částice. Při šíření v libovolném směru:
(7.44.2)
Nazvěme funkci vlnovou funkcí a zjistěme její fyzikální význam porovnáním difrakce světelných vln a mikročástic.
Podle vlnových představ o povaze světla je intenzita difrakčního obrazce úměrná druhé mocnině amplitudy světelné vlny. Podle konceptů fotonové teorie je intenzita určena počtem fotonů dopadajících v daném bodě difrakčního obrazce. V důsledku toho je počet fotonů v daném bodě difrakčního obrazce dán druhou mocninou amplitudy světelné vlny, zatímco pro jeden foton určuje druhá mocnina amplitudy pravděpodobnost, že foton zasáhne určitý bod.
Difrakční obrazec pozorovaný pro mikročástice je také charakterizován nestejnou distribucí toků mikročástic. Z hlediska vlnové teorie přítomnost maxim v difrakčním obrazci znamená, že tyto směry odpovídají nejvyšší intenzitě de Broglieho vln. Intenzita je větší tam, kde je větší počet částic. Difrakční obrazec pro mikročástice je tedy projevem statistického obrazce a můžeme říci, že znalost typu de Broglieho vlny, tzn. Funkce Ψ umožňuje posoudit pravděpodobnost jednoho nebo druhého z možných procesů.
Takže v kvantové mechanice se stav mikročástic popisuje zásadně novým způsobem – pomocí vlnové funkce, která je hlavním nositelem informace o jejich korpuskulárních a vlnových vlastnostech. Pravděpodobnost nalezení částice v prvku s objemem je
(7.44.3)
Velikost
(7.44.4)
má význam hustota pravděpodobnosti, tzn. určuje pravděpodobnost nalezení částice v jednotkovém objemu v okolí daného bodu. Fyzikální význam tedy nemá samotná funkce, ale čtverec jejího modulu, který nastavuje intenzitu de Broglieho vln. Pravděpodobnost nalezení částice v určitém okamžiku v konečném objemu se podle věty o sčítání pravděpodobností rovná
(7.44.5)
Protože částice existuje, je jisté, že se najde někde ve vesmíru. Pravděpodobnost spolehlivé události je tedy rovna jedné
. (7.44.6)
Výraz (7.44.6) se nazývá podmínka normalizace pravděpodobnosti. Vlnová funkce charakterizující pravděpodobnost detekce působení mikročástice v objemovém prvku musí být konečná (pravděpodobnost nemůže být větší než jedna), jednoznačná (pravděpodobnost nemůže být nejednoznačná hodnota) a spojitá (pravděpodobnost se nemůže skokově měnit).
3. PRVKY KVANTOVÉ MECHANIKY
3.1.Vlnová funkce
Každá mikročástice je zvláštní druh útvaru, který kombinuje vlastnosti jak částic, tak vln. Rozdíl mezi mikročásticí a vlnou je v tom, že je detekována jako nedělitelný celek. Nikdo například nepozoroval poloviční elektron. Zároveň lze vlnu rozdělit na části a pak každou část vnímat samostatně.
Rozdíl mezi mikročásticí v kvantové mechanice a běžnou mikročásticí je v tom, že nemá současně určité hodnoty souřadnic a hybnosti, takže koncept trajektorie pro mikročástici ztrácí svůj význam.
Rozdělení pravděpodobnosti nalezení částice v daném čase v určité oblasti prostoru bude popsáno vlnovou funkcí
(X,
y,
z
,
t) (funkce psi). Pravděpodobnost dPže částice se nachází v objemovém prvku dV, proporcionální 
a objemový prvek dV:
dP=
dV.
Není to samotná funkce, která má fyzický význam 
a druhá mocnina jeho modulu je hustota pravděpodobnosti. Určuje pravděpodobnost, že částice bude v daném bodě prostoru.
Vlnová funkce
je hlavní charakteristikou stavu mikroobjektů (mikročástic). S jeho pomocí lze v kvantové mechanice vypočítat průměrné hodnoty fyzikálních veličin, které charakterizují daný objekt ve stavu popsaném vlnovou funkcí 
.
3.2. Princip nejistoty
V klasické mechanice je stav částice specifikován souřadnicemi, hybností, energií atd. Jedná se o dynamické proměnné. Mikročástici nelze popsat takovými dynamickými proměnnými. Zvláštností mikročástic je, že ne všechny proměnné získávají určité hodnoty během měření. Například částice nemůže mít současně přesné hodnoty souřadnic X a impulsní složky R X. Nejistota hodnot X A R X vyhovuje vztahu:
(3.1)
– čím menší je nejistota souřadnice Δ X, tím větší je nejistota pulzu Δ R X a naopak.
Vztah (3.1) se nazývá Heisenbergův vztah neurčitosti a byl získán v roce 1927.
hodnoty Δ X a A R X se nazývají kanonicky konjugované. Stejné kanonicky konjugované jsou Δ na a A R na, a tak dále.
Heisenbergův princip nejistoty říká, že součin nejistot dvou konjugovaných proměnných nemůže být řádově menší než Planckova konstanta. ħ.
Energie a čas jsou tedy také kanonicky konjugované 
. To znamená, že určení energie s přesností Δ E by měl trvat časový interval:
Δ t ~ ħ/ Δ E.
Pojďme určit hodnotu souřadnice X volně poletující mikročástice, která do její dráhy umístí mezeru o šířce Δ X, umístěný kolmo ke směru pohybu částic. Než částice projde štěrbinou, její složka hybnosti je R X má přesný význam R X= 0 (mezera je kolmá na vektor hybnosti), takže nejistota hybnosti je nulová, Δ R X= 0, ale souřadnice Xčástic je zcela nejisté (obr. 3.1).
V 
v okamžiku, kdy částice projde štěrbinou, se poloha změní. Místo úplné nejistoty souřadnic X objeví se nejistota Δ X a objeví se nejistota hybnosti Δ R X .
V důsledku difrakce existuje určitá pravděpodobnost, že se částice bude pohybovat v úhlu 2 φ , Kde φ – úhel odpovídající prvnímu difrakčnímu minimu (maxima vyšších řádů zanedbáváme, protože jejich intenzita je malá ve srovnání s intenzitou centrálního maxima).
Vzniká tedy nejistota:
Δ R X =R hřích φ ,
Ale hřích φ = λ / Δ X– to je podmínka prvního minima. Pak
Δ R X ~рλ/Δ X,
Δ XΔ R X ~рλ= 2πħ ≥ħ/ 2.
Vztah neurčitosti udává, do jaké míry lze ve vztahu k mikročásticím použít pojmy klasické mechaniky, zejména s jakou mírou přesnosti lze hovořit o trajektorii mikročástic.
Pohyb po trajektorii je charakterizován určitými hodnotami rychlosti částice a jejích souřadnic v každém časovém okamžiku. Místo toho dosazení do vztahu neurčitosti R X výraz pro hybnost 
, my máme:
–
Čím větší je hmotnost částice, čím menší je nejistota v jejích souřadnicích a rychlosti, tím přesněji se na ni vztahují pojmy trajektorie.
Například pro mikročástici o velikosti 1·10 -6 m jsou nejistoty Δх a Δ 
přesahují přesnost měření těchto veličin a pohyb částice je neoddělitelný od pohybu po trajektorii.
Vztah neurčitosti je základním návrhem kvantové mechaniky. Pomáhá například vysvětlit skutečnost, že elektron nedopadá na jádro atomu. Pokud by elektron dopadl na bodové jádro, jeho souřadnice a hybnost by nabyly určitých (nulových) hodnot, což je neslučitelné s principem neurčitosti. Tento princip vyžaduje, aby nejistota elektronové souřadnice Δ r a nejistota hybnosti Δ R vztah uspokojil
Δ rΔ p ≥ ħ/ 2,
a význam r= 0 je nemožné.
Energie elektronu v atomu bude minimální při r= 0 a R= 0, takže pro odhad nejnižší možné energie nastavíme Δ r ≈ r, Δ p ≈ p. Potom Δ rΔ p ≥ ħ/ 2 a pro nejmenší hodnotu nejistoty máme:
nás zajímají pouze řádové veličiny zahrnuté v tomto vztahu, takže faktor lze zahodit. V tomto případě máme 
, odtud р = ħ/r. Energie elektronů v atomu vodíku
(3.2)
najdeme r, při které energii E minimální. Derivujme (3.2) a přirovnejme derivaci k nule:
,
Číselné faktory v tomto výrazu jsme zavrhli. Odtud 
- poloměr atomu (poloměr první Bohrovy dráhy). Za energii, kterou máme
Někdo by si mohl myslet, že pomocí mikroskopu by bylo možné určit polohu částice a tím svrhnout princip neurčitosti. Mikroskop však umožní určit polohu částice v nejlepším případě s přesností až na vlnovou délku použitého světla, tzn. Δ x ≈ λ, ale protože Δ R= 0, pak Δ RΔ X= 0 a princip neurčitosti není splněn?! Je to tak?
Používáme světlo a světlo se podle kvantové teorie skládá z fotonů s hybností p =k/λ . Pro detekci částice musí být alespoň jeden z fotonů světelného paprsku rozptýlen nebo absorbován. V důsledku toho se hybnost přenese na částici, alespoň dosáhne h/λ . Tedy v okamžiku pozorování částice s neurčitostí souřadnic Δ x ≈ λ nejistota hybnosti musí být Δ p ≥h/λ .
Vynásobením těchto nejistot dostaneme:
–
princip neurčitosti je splněn.
Proces interakce zařízení se studovaným objektem se nazývá měření. Tento proces probíhá v prostoru a čase. Mezi interakcí zařízení s makro- a mikroobjekty je důležitý rozdíl. Interakce zařízení s makroobjektem je interakce dvou makroobjektů, která je poměrně přesně popsána zákony klasické fyziky. V tomto případě můžeme předpokládat, že zařízení nemá žádný vliv na měřený objekt, nebo že vliv je malý. Když zařízení interaguje s mikroobjekty, nastává jiná situace. Proces fixace určité polohy mikročástice zavádí změnu její hybnosti, kterou nelze rovnat nule:
Δ R X ≥ ħ/ Δ X.
Dopad zařízení na mikročástici tedy nelze považovat za malý a nevýznamný, zařízení mění stav mikroobjektu - v důsledku měření se ukazuje, že jsou upřesněny určité klasické charakteristiky částice (hybnost atd.); pouze v rámci omezeném vztahem neurčitosti.
3.3. Schrödingerova rovnice
V roce 1926 získal Schrödinger svou slavnou rovnici. Toto je základní rovnice kvantové mechaniky, základní předpoklad, na kterém je založena celá kvantová mechanika. Všechny důsledky plynoucí z této rovnice jsou v souladu se zkušeností – to je její potvrzení.
Pravděpodobnostní (statistická) interpretace de Broglieho vln a vztah neurčitosti naznačují, že pohybová rovnice v kvantové mechanice musí být taková, aby nám umožnila vysvětlit experimentálně pozorované vlnové vlastnosti částic. Poloha částice v prostoru v daném časovém okamžiku je v kvantové mechanice určena specifikací vlnové funkce
(X,
y,
z,
t), nebo spíše druhou mocninou modulu této veličiny. 
je pravděpodobnost nalezení částice v bodě X,
y,
z v určitém okamžiku t.
Základní rovnicí kvantové mechaniky musí být rovnice s ohledem na funkci
(X,
y,
z,
t). Dále, tato rovnice musí být vlnová rovnice, experimenty na difrakci mikročástic, potvrzující jejich vlnovou povahu, musí z ní odvodit své vysvětlení.
Schrödingerova rovnice má následující tvar:
.
(3.3)
Kde m- hmotnost částic,
i- pomyslná jednotka,
– operátor Laplace, 
,U– operátor potenciální energie částic.
Tvar Ψ-funkce je určen funkcí U, tj. povaha sil působících na částici. Pokud je silové pole stacionární, pak řešení rovnice má tvar:
,
(3.4)
Kde E je celková energie částice, zůstává konstantní v každém stavu, E=konst.
Rovnice (3.4) se nazývá Schrödingerova rovnice pro stacionární stavy. Může být také zapsán ve tvaru:
.
Tato rovnice je použitelná pro nerelativistické systémy za předpokladu, že se rozdělení pravděpodobnosti v čase nemění, tzn. když funguje ψ vypadat jako stojaté vlny.
Schrödingerovu rovnici lze získat následovně.
Uvažujme jednorozměrný případ - volně se pohybující částice podél osy X. Odpovídá rovině de Broglieho vlny:
,
Ale 
,
Proto 
. Rozlišujme tento výraz podle t:
.
Najdeme nyní druhou derivaci funkce psi vzhledem k souřadnici
,
V nerelativistické klasické mechanice souvisí energie a hybnost vztahem: 
Kde E- Kinetická energie. Částice se volně pohybuje, její potenciální energie U= 0 a plné E=E k. Proto
,
je Schrödingerova rovnice pro volnou částici.
Pokud se částice pohybuje v silovém poli, pak E– veškerou energii (kinetickou i potenciální), proto:
,
pak dostaneme 
nebo 
,
a nakonec
Toto je Schrödingerova rovnice.
Výše uvedená úvaha není odvozením Schrödingerovy rovnice, ale příkladem, jak lze tuto rovnici stanovit. Je postulována samotná Schrödingerova rovnice.
Ve výrazu
levá strana označuje operátor Hamilton 
– Hamiltonián je součet operátorů 
A U. Hamiltonián je energetický operátor. O operátorech fyzikálních veličin si povíme podrobně později. (Operátor vyjadřuje nějakou akci pod funkcí ψ
, který je pod znakem operátora). S ohledem na výše uvedené máme:
.
Nemá to fyzický význam ψ -funkce a druhá mocnina jejího modulu, která určuje hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v daném místě v prostoru. Kvantová mechanika dává statistický smysl. Neumožňuje určit polohu částice v prostoru nebo trajektorii, po které se částice pohybuje. Funkce psi udává pouze pravděpodobnost, s jakou lze částici detekovat v daném bodě prostoru. V tomto ohledu musí funkce psi splňovat následující podmínky:
Musí být jednoznačná, spojitá a konečná, protože určuje stav částice;
Musí mít spojitou a konečnou derivaci;
Funkce I ψ I 2 musí být integrovatelné, tzn. integrální
musí být konečný, protože určuje pravděpodobnost detekce částice.
Integrální
,
Toto je podmínka normalizace. To znamená, že pravděpodobnost, že se částice nachází v libovolném bodě prostoru, je rovna jedné.
korpuskulární - vlnový dualismus v kvantové fyzice, stav částice je popsán pomocí vlnové funkce ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-funkce).
Definice 1
Vlnová funkce je funkce, která se používá v kvantové mechanice. Popisuje stav systému, který má rozměry v prostoru. Je to stavový vektor.
Tato funkce je komplexní a formálně má vlnové vlastnosti. Pohyb jakékoli částice mikrosvěta je dán pravděpodobnostními zákony. Rozdělení pravděpodobnosti se odhalí, když se provede velký počet pozorování (měření) nebo velký počet částic. Výsledné rozložení je podobné rozložení intenzity vlnění. To znamená, že v místech s maximální intenzitou je zaznamenán maximální počet částic.
Množina argumentů vlnové funkce určuje její reprezentaci. Je tedy možná reprezentace souřadnic: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, reprezentace impulsu: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ atd.
V kvantové fyzice není cílem přesně předpovědět událost, ale odhadnout pravděpodobnost konkrétní události. Znáte-li hodnotu pravděpodobnosti, najděte průměrné hodnoty fyzikálních veličin. Vlnová funkce umožňuje najít takové pravděpodobnosti.
Pravděpodobnost přítomnosti mikročástice v objemu dV v čase t lze tedy definovat jako:
kde $\psi^*$ je komplexní konjugovaná funkce k funkci $\psi.$ Hustota pravděpodobnosti (pravděpodobnost na jednotku objemu) se rovná:
Pravděpodobnost je veličina, kterou lze pozorovat v experimentu. Zároveň vlnová funkce není k dispozici pro pozorování, protože je komplexní (v klasické fyzice jsou pro pozorování k dispozici parametry, které charakterizují stav částice).
Normalizační podmínka pro funkci $\psi$-
Vlnová funkce je určena až do libovolného konstantního faktoru. Tato skutečnost nemá vliv na stav částice, který popisuje funkce $\psi$. Vlnová funkce je však zvolena tak, aby splňovala podmínku normalizace:
kde integrál je převzat přes celý prostor nebo přes oblast, ve které vlnová funkce není nulová. Normalizační podmínka (2) znamená, že v celé oblasti, kde $\psi\ne 0$ je částice spolehlivě přítomna. Vlnová funkce, která splňuje podmínku normalizace, se nazývá normalizovaná. Pokud $(\left|\psi\right|)^2=0$, pak tato podmínka znamená, že ve zkoumané oblasti pravděpodobně žádná částice není.
Normalizace tvaru (2) je možná s diskrétním spektrem vlastních čísel.
Normalizační podmínka nemusí být proveditelná. Pokud tedy $\psi$ je rovina de Broglieho vlna a pravděpodobnost nalezení částice je stejná pro všechny body v prostoru. Tyto případy jsou považovány za ideální model, ve kterém je částice přítomna ve velké, ale omezené oblasti prostoru.
Princip superpozice vlnové funkce
Tento princip je jedním z hlavních postulátů kvantové teorie. Jeho význam je následující: pokud jsou pro určitý systém možné stavy popsané vlnovými funkcemi $\psi_1\ (\rm a)\ $ $\psi_2$, pak pro tento systém existuje stav:
kde $C_(1\ )a\ C_2$ jsou konstantní koeficienty. Princip superpozice je potvrzen empiricky.
Můžeme mluvit o přidání libovolného počtu kvantových stavů:
kde $(\left|C_n\right|)^2$ je pravděpodobnost, že se systém nachází ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi_n.$ Pro vlnové funkce podléhající normalizační podmínce (2) je splněna následující podmínka:
Stacionární stavy
V kvantové teorii hrají zvláštní roli stacionární stavy (stavy, ve kterých se všechny pozorovatelné fyzikální parametry v čase nemění). (Vlastní vlnová funkce je v zásadě nepozorovatelná.) V ustáleném stavu má funkce $\psi$- tvar:
kde $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ nezávisí na čase, $E$ je energie částice. S tvarem (3) vlnové funkce je hustota pravděpodobnosti ($P$) časová konstanta:
Z fyzikálních vlastností stacionárních stavů vyplývají matematické požadavky na vlnovou funkci $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.
Matematické požadavky na vlnovou funkci pro stacionární stavy
$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- funkce musí být ve všech bodech:
- kontinuální,
- jednoznačný,
- konečný.
Pokud má potenciální energie plochu diskontinuity, pak na takových plochách musí funkce $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ a její první derivace zůstat spojité. V oblasti prostoru, kde se potenciální energie stává nekonečnou, musí být $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ nula. Spojitost funkce $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ vyžaduje, aby na jakékoli hranici této oblasti $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. Podmínka spojitosti je uvalena na parciální derivace vlnové funkce ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ částečné z)$).
Příklad 1
Cvičení: Pro určitou částici je dána vlnová funkce tvaru: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, kde $r$ je vzdálenost od částice do středu síly (obr. 1), $a=const$. Použijte podmínku normalizace, najděte normalizační koeficient A.
Obrázek 1.
Řešení:
Zapišme normalizační podmínku pro náš případ ve tvaru:
\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]
kde $dV=4\pi r^2dr$ (viz obr. 1 Z podmínek je zřejmé, že úloha má sférickou symetrii). Z podmínek problému máme:
\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\levá(1.2\vpravo).\]
Dosadíme $dV$ a vlnové funkce (1.2) do normalizační podmínky:
\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1,3\ že jo).)\]
Provedeme integraci na levé straně:
\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\left(1.4\right).)\]
Ze vzorce (1.4) vyjádříme požadovaný koeficient:
Odpovědět:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$
Příklad 2
Cvičení: Jaká je nejpravděpodobnější vzdálenost ($r_B$) elektronu od jádra, jestliže vlnovou funkci, která popisuje základní stav elektronu v atomu vodíku, lze definovat jako: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, kde $ r$ je vzdálenost od elektronu k jádru, $a$ je první Bohrův poloměr?
Řešení:
Použijeme vzorec, který určuje pravděpodobnost přítomnosti mikročástice v objemu $dV$ v čase $t$:
kde $dV=4\pi r^2dr.\ $Proto máme:
V tomto případě zapíšeme $p=\frac(dP)(dr)$ jako:
Pro určení nejpravděpodobnější vzdálenosti se derivace $\frac(dp)(dr)$ rovná nule:
\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\vpravo)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2,4)\]
Protože nám řešení $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ nevyhovuje, vypadá to takto:
