Цел: Да даде концепцията, дефиницията на последователност, крайна, безкрайна, различни начини за дефиниране на последователности, техните разлики, да научи как да ги използва при решаване на примери.
Оборудване: Маси.
Прогрес на урока
I. Организационен момент.
II. Фронтална проверка на домашното:
1) задача за ученик на дъска № 2.636 (от част II на „Сборник задачи за писмения изпит в 9 клас)
2) ученик. Постройте графика
3) фронтално с целия клас № 2.334 (а).
III. Обяснение на нов материал.
Училищната лекция е форма на организиране на учебния процес, която ориентира учениците при изучаване на определена тема към основното и включва широка демонстрация на личното отношение на учителя и учениците към учебния материал. защото Урокът-лекция предвижда широкоблоково представяне на материала от учителя, след което вербалната комуникация между учителя и учениците е основното нещо в неговата технология. Думата на учителя има емоционално, естетическо въздействие и създава определено отношение към предмета. С помощта на лекция се ръководят различни видове дейности на студентите в класната стая, а чрез знания, умения и способности се формира познанието като основа на учебната дейност.
I. Запишете двуцифрените числа, завършващи на 3 във възходящ ред.
13; 23; 33;………….93.
Свържете всеки сериен номер от 1 до 9 с конкретно двуцифрено число:
1->13; 2->23;………9->93.
Установено е съответствие между множеството от първите девет естествени числа и множеството от двуцифрени числа, завършващи на 3. Това съответствие е функция.
Областта на дефиниция е (1; 2; 3;……..9)
Много стойности (13; 23; 33;…….93).
Ако съответствието е означено с f, тогава
Тази последователност може да бъде зададена чрез пар.
(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)
б) 1; 0; 1; 0; 1; 0
Таблица №1
а) б)
II. 
O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)
М.з.ф.  g(1) = ; |
g(3) =; ... | g(60) = |
Функция, дефинирана върху множеството от естествени числа, се нарича безкрайна редица.
на 2; 4; 6; 8; 10;……..
1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n
f(1); f(2); f(3)… …..f(n)
- членове на редицата.
Забележка: необходимо е да се прави разлика между понятието набор и понятието последователност.
а) (10; 20; 30; 40)
Същият комплект.
{40; 30; 20; 10}
b) обаче, последователности 10; 20; тридесет; 40
различни:
(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)
(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).
III. Помислете за последователността:
13; 5; 7; 9; единадесет;……. -> безкраен, нарастващ
2) 10; 9; 8; 7; 6. -> краен, намаляващ.
а) 
Редица се нарича нарастваща, ако всеки член, започвайки от втория, е по-голям от предишния.
б) 
Дадена е дефиницията на намаляваща редица.
Увеличаващите се или намаляващи последователности се наричат монотонни.
1; 0; 1; 0; 1; 0. - колебание;
5; 5; 5; 5; ….. - постоянно.
IV. Последователностите могат да бъдат изобразени геометрично. защото последователност е функция, чиято област на дефиниране е множеството N, тогава графиката, очевидно, е множеството от точки на равнината (x; y).
Пример: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.
(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)
Нека начертаем тази последователност
Снимка 1.
Пример: Докажете, че последователност, дадена в тази форма
99; 74; 49; 24; -1;……………
намалява.
V. Методи за определяне на последователности.
защото Поредица е функция, дефинирана в множеството N, тогава има пет начина за дефиниране на поредици:
I. Табличен
II. Метод на описание
III. Аналитичен
IV. Графичен
V. Рецидивиращ
I. Табличен - много неудобен. Ние съставяме таблица и я използваме, за да определим кой член? какво място заема.......
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
| 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
II. Метод на описание.
Пример: Редицата е такава, че всеки член е написан с числото 4, а броят на цифрите е равен на номера на числото в редицата.
III. Аналитичен метод (с помощта на формула).
Формула, която изразява всеки член на редица от гледна точка на неговия номер n, се нарича формула за n член на редицата.
Например:
и учениците съставят тези последователности и обратно: изберете формула за условията на последователностите:
| а) 1; ; ;………….. | |
б)  ...
|
|
V)  |
|
G)  |
 |
| д) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. |
IV. Графичният метод също не е много удобен и обикновено не се използва.
Монотонността на последователността
Монотонна последователност- последователност, отговаряща на едно от следните условия:
Сред монотонните последователности се открояват следните: строго монотоненпоследователности, отговарящи на едно от следните условия:
Понякога се използва вариант на терминология, в който терминът "нарастваща последователност" се счита за синоним на термина "ненамаляваща последователност", а терминът "намаляваща последователност" се счита за синоним на термина "ненарастваща последователност" ". В такъв случай нарастващите и намаляващите последователности от горната дефиниция се наричат съответно „строго нарастващи“ и „стриктно намаляващи“.
Някои обобщения
Може да се окаже, че горните условия не са изпълнени за всички числа, а само за числа от определен диапазон
(тук е позволено да обърнете дясната граница н+ до безкрайност). В този случай последователността се извиква монотонно на интервала аз , и самия диапазон азНаречен интервал на монотонностпоследователности.
Примери
Вижте също
Фондация Уикимедия. 2010 г.
Вижте какво е „Монотонност на последователност“ в други речници:
Дял от математиката, който изучава свойствата на различни функции. Теорията на функциите попада в две области: теория на функциите на реална променлива и теория на функциите на комплексна променлива, разликата между които е толкова голяма, че... ... Енциклопедия на Collier
Тестването на псевдослучайни последователности е набор от методи за определяне на степента на близост на дадена псевдослучайна последователност до случайна. Такава мярка обикновено е наличието на равномерно разпределение, големи... ... Wikipedia
Този термин има други значения, вижте Мярка. Мярката на набор е неотрицателна величина, интуитивно интерпретирана като размер (обем) на набора. Всъщност мярката е определена числена функция, която присвоява на всяка... ... Уикипедия
Известен писател. Род. в Орел през 1871 г.; баща му беше земемер. Учи в Орловската гимназия и в университетите в Санкт Петербург и Москва, в Юридическия факултет. Студентът беше в голяма нужда. Тогава той написва първия си разказ „за... ... Голяма биографична енциклопедия
Числените методи за решаване са методи, които заместват решението на гранична задача с решение на дискретна задача (вижте Линейна гранична задача; числени методи за решаване и нелинейно уравнение; числени методи за решение). В много случаи, особено когато се има предвид... ... Математическа енциклопедия
Ръкописът на Войнич е написан с помощта на неизвестна система за писане Ръкописът на Войнич (английски Voyni ... Wikipedia
Написан с неизвестна система за писане Ръкописът на Войнич е мистериозна книга, написана преди около 500 години от неизвестен автор, на неизвестен език, използвайки неизвестна азбука. Ръкопис на Войнич... ... Уикипедия
Сигизмондо д'Индия (на италиански: Sigismondo d India, ок. 1582, Палермо? до 19 април 1629, Модена) италиански композитор. Съдържание 1 Биография 2 Творчество ... Уикипедия
Модернизация- (Модернизация) Модернизацията е процес на промяна на нещо в съответствие с изискванията на модерността, преход към по-напреднали условия, чрез въвеждане на различни нови актуализации Теория на модернизацията, видове модернизация, органични... ... Енциклопедия на инвеститора
Едно от основните математически понятия, чийто смисъл е подложен на редица обобщения с развитието на математиката. I. Дори в „Елементите“ на Евклид (3-ти век пр.н.е.), свойствата на V., сега наречени, са ясно формулирани, за да ги разграничат от... ... Велика съветска енциклопедия
Ако всяко естествено число n е свързано с някакво реално число x n, тогава казваме, че даденото числова последователност
х 1 , х 2 , … x n , …
Номер х 1 се нарича член на редицата с номер 1 или първия член на последователността, номер х 2 - член на редицата с номер 2 или вторият член на редицата и т.н. Числото x n се нарича член на редицата с номерн.
Има два начина за указване на числови поредици - с и със повтаряща се формула.
Използване на последователност формули за общия член на редица– това е последователна задача
х 1 , х 2 , … x n , …
използвайки формула, изразяваща зависимостта на члена x n от неговия номер n.
Пример 1. Числова последователност
1, 4, 9, … н 2 , …
дадено с помощта на общата формула на термина
x n = н 2 , н = 1, 2, 3, …
Указването на последователност с помощта на формула, изразяваща член на последователност x n чрез членовете на последователността с предходни числа, се нарича определяне на последователност с помощта на повтаряща се формула.
х 1 , х 2 , … x n , …
Наречен в нарастваща последователност, Повече ▼предишен член.
С други думи, за всички н
х н + 1 >х н
Пример 3. Редица от естествени числа
1, 2, 3, … н, …
е възходяща последователност.
Определение 2. Числова последователност
х 1 , х 2 , … x n , …
Наречен низходяща последователностако всеки член на тази последователност по-малкопредишен член.
С други думи, за всички н= 1, 2, 3, … неравенството е изпълнено
х н + 1 < х н
Пример 4. Последователност
дадено от формулата
е низходяща последователност.
Пример 5. Числова последователност
1, - 1, 1, - 1, …
дадено от формулата
x n = (- 1) н , н = 1, 2, 3, …
не е нито нараства, нито намалявапоследователност.
Определение 3. Нарастващи и намаляващи числови последователности се наричат монотонни последователности.
Ограничени и неограничени последователности
Определение 4. Числова последователност
х 1 , х 2 , … x n , …
Наречен ограничено отгоре,ако има число M такова, че всеки член на тази редица по-малкочисла М.
С други думи, за всички н= 1, 2, 3, … неравенството е изпълнено
Определение 5. Числова последователност
х 1 , х 2 , … x n , …
Наречен ограничен отдолу,ако има число m такова, че всеки член на тази редица Повече ▼числа m.
С други думи, за всички н= 1, 2, 3, … неравенството е изпълнено
Определение 6. Числова последователност
х 1 , х 2 , … x n , …
се нарича ограничено, ако го ограничен както отгоре, така и отдолу.
С други думи, има такива числа M и m, че за всички н= 1, 2, 3, … неравенството е изпълнено
м< x n < M
Определение 7. Числови поредици, които не са ограничени, Наречен неограничени последователности.
Пример 6. Числова последователност
1, 4, 9, … н 2 , …
дадено от формулата
x n = н 2 , н = 1, 2, 3, … ,
ограничен отдолу, например числото 0. Тази последователност обаче неограничен отгоре.
Пример 7. Последователност
дадено от формулата
е ограничена последователност, защото за всички н= 1, 2, 3, … неравенството е изпълнено
На нашия уебсайт можете също да се запознаете с образователни материали, разработени от учители на учебния център Resolventa за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит по математика.
За ученици, които искат да се подготвят добре и да преминат Единен държавен изпит по математика или руски езикза висок резултат, учебният център Resolventa провежда
| подготвителни курсове за ученици от 10 и 11 клас |
Определение 1. Последователността се извиква намаляващи
(ненарастващ
), ако за всички 
неравенството е в сила 
.
Определение 2. Консистенция 
Наречен повишаване на
(ненамаляващ
), ако за всички 
неравенството е в сила 
.
Определение 3. Наричат се намаляваща, ненарастваща, нарастваща и ненамаляваща редица монотонен последователности, намаляващи и нарастващи последователности също се наричат строго монотонен последователности.
Очевидно ненамаляваща редица е ограничена отдолу, а ненарастваща редица е ограничена отгоре. Следователно всяка монотонна последователност е очевидно ограничена от едната страна.
Пример 1. Последователност 
увеличава, не намалява, 
намалява 
не се увеличава 
– немонотонна последователност.
За монотонни последователности следното играе важна роля:
Теорема 1. Ако една ненамаляваща (ненарастваща) редица е ограничена отгоре (отдолу), тогава тя се събира.
Доказателство. Нека последователността 
не намалява и е ограничен отгоре, т.е. 
и много 
ограничено отгоре. По теорема 1 § 2 има 
. Нека докажем това 
.
Да вземем 
произволно. Тъй като А– точна горна граница, има число н
такова, че 
. Тъй като последователността е ненамаляваща, тогава за всички 
имаме, т.е. 
, Ето защо 
за всички 
, а това означава, че 
.
За ненарастваща последователност, ограничена отдолу, доказателството е подобно на ( учениците могат сами да докажат това твърдение у дома). Теоремата е доказана.
Коментирайте. Теорема 1 може да се формулира по различен начин.
Теорема 2. За да се сближи една монотонна редица е необходимо и достатъчно тя да бъде ограничена.
Достатъчността се установява в теорема 1, необходимостта – в теорема 2 на § 5.
Условието за монотонност не е необходимо за конвергенцията на последователност, тъй като конвергентната последователност не е непременно монотонна. Например последователността 
не е монотонна, а се свежда до нула.
Последица. Ако последователността 
увеличава (намалява) и се ограничава отгоре (отдолу), тогава 
(
).
Наистина, по теорема 1 
(
).
Определение 4. Ако 
при 
, тогава последователността се извиква система за свиване на вложени сегменти
.
Теорема 3 (принцип на вложените сегменти). Всяка свиваща се система от вложени сегменти има уникална точка с, принадлежащи към всички сегменти на тази система.
Доказателство. Нека докажем това ссъществува. Тъй като 
, Че 
и следователно последователността 
не намалява, а последователността 
не се увеличава. При което 
И 
ограничен, защото. Тогава, съгласно теорема 1, съществуват 
И 
, но тъй като 
, Че 
=
. Намерена точка спринадлежи на всички сегменти на системата, тъй като по следствие от теорема 1 
,
, т.е. 
за всички стойности н.
Нека сега покажем, че точката с- единствения. Да приемем, че има две такива точки: сИ ди нека за сигурност 
. След това сегментът 
принадлежи към всички сегменти 
, т.е. 
за всички н, което е невъзможно, тъй като 
и следователно, започвайки от определено число, 
. Теоремата е доказана.
Обърнете внимание, че същественото тук е, че се разглеждат затворени интервали, т.е. сегменти. Ако разгледаме система от съкращаващи интервали, тогава принципът е най-общо казано неправилен. Например интервали 
, очевидно се свиват до точка 
, но точка 
не принадлежи към нито един интервал от тази система.
Нека сега разгледаме примери за конвергентни монотонни последователности.
1) Число д.
Нека сега разгледаме последователността 
. Как се държи? База
степени 
, Ето защо 
? От друга страна, 
, А 
, Ето защо 
? Или няма ограничение?
За да отговорите на тези въпроси, разгледайте спомагателната последователност 
. Нека докажем, че тя намалява и е ограничена отдолу. В същото време ще ни трябва
Лема. Ако 
, след това за всички природни ценности нние имаме
(неравенството на Бернули).
Доказателство. Нека използваме метода на математическата индукция.
Ако 
, Че 
, т.е. неравенството е вярно.
Да приемем, че е вярно за 
и докаже своята валидност за 
+1.
вярно 
. Нека умножим това неравенство по 
:
По този начин, . Това означава, че според принципа на математическата индукция неравенството на Бернули е вярно за всички естествени стойности н. Лемата е доказана.
Нека покажем, че последователността 
намалява. Ние имаме
неравенството на бернули 
, а това означава, че последователността 
намалява.
Ограничеността отдолу следва от неравенството 
неравенството на бернули 
за всички природни ценности н.
По теорема 1 има 
, което се означава с буквата д. Ето защо 
.
Номер дирационално и трансцендентално, д= 2,718281828… . Както е известно, това е основата на естествените логаритми.
Бележки. 1) Неравенството на Бернули може да се използва за доказване на това 
при 
. Наистина, ако 
, Че 
. Тогава, според неравенството на Бернули, с 
. Следователно, при 
ние имаме 
, това е 
при 
.
2) В примера, обсъден по-горе, основата на степента 
клони към 1, а показателят н- Да се 
, тоест има несигурност на формата 
. Несигурност от този вид, както показахме, се разкрива от забележителната граница 
.
2)
(*)
Нека докажем, че тази последователност се събира. За да направим това, показваме, че той е ограничен отдолу и не се увеличава. В този случай използваме неравенството 
за всички 
, което е следствие от неравенството 
.
Ние имаме 
виж неравенството е по-високо 
, т.е. последователността е ограничена отдолу с числото 
.
Освен това, 
оттогава 
, т.е. последователността не се увеличава.
По теорема 1 има 
, което обозначаваме х. Преминаване в равенство (*) до границата при 
, получаваме
, т.е. 
, където 
(взимаме знака плюс, тъй като всички членове на редицата са положителни).
При изчислението се използва последователността (*). 
приблизително. Отзад 
вземете произволно положително число. Например, да намерим 
. Позволявам 
. Тогава 
,. По този начин, 
.
3)
.
Ние имаме 
. Тъй като 
при 
, има номер н, така че за всички 
неравенството е в сила 
. Така че последователността 
, започвайки от някакво число н, намалява и е ограничен отдолу, тъй като 
за всички стойности н. Това означава, че по теорема 1 има 
. Тъй като 
, ние имаме 
.
Така, 
.
4)
, на дясно - н
корени
С помощта на метода на математическата индукция ще покажем това 
за всички стойности н. Ние имаме 
. Позволявам 
. Тогава оттук получаваме твърдение, основано на принципа на математическата индукция. Използвайки този факт, намираме, т.е. подпоследователност 
нараства и е ограничен отгоре. Следователно съществува, защото 
.
По този начин, 
.
Понякога такива последователности се наричат. строго нарастваща и, и терминът "V. p." важи за последователности, които отговарят на всички условия. Такива последователности се наричат. също не намалява. Всяка ненамаляваща последователност, ограничена отгоре, има крайна граница, а всяка последователност, която не е ограничена отгоре, има безкрайна граница, равна на +безкрайност. Л. Д. Кудрявцев.
Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.
Вижте какво е „INCURING SEQUENCE“ в други речници:
нарастваща последователност- - [L.G.Sumenko. Английско-руски речник по информационни технологии. М .: Държавно предприятие ЦНИИС, 2003.] Теми информационни технологии като цяло EN възходяща последователност ... Ръководство за технически преводач
Задачата за намиране на най-дългата нарастваща подпоследователност е да се намери най-дългата нарастваща подпоследователност в дадена последователност от елементи. Съдържание 1 Постановка на проблема 2 Свързани алгоритми ... Wikipedia
Монотонна функция е функция, чието нарастване не променя знака, тоест тя винаги е неотрицателна или винаги неположителна. Ако освен това увеличението не е нула, тогава се казва, че функцията е строго монотонна. Съдържание 1 Дефиниции 2 ... ... Уикипедия
Последователност Числовата последователност е последователност от елементи в числовото пространство. Числови числа... Уикипедия
Това е последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават. Такива последователности често се срещат в изследванията и имат редица отличителни характеристики и допълнителни свойства.... ... Wikipedia
Монотонна редица е редица, която отговаря на едно от следните условия: за всяко число неравенството е валидно (ненамаляваща редица), за всяко число неравенството е валидно (ненарастващо... ... Wikipedia
Клон на теорията на числата, в който набори от числа, които имат определени аритметични свойства, се изучават и характеризират метрично (т.е. въз основа на теорията на мярката). Имоти. M. t.h. е тясно свързана с теорията на вероятностите, което понякога прави възможно... Математическа енциклопедия
Посочете, че всяка ограничена нарастваща последователност има лимит и че този лимит е равен на неговия супремум. Въпреки простотата на доказателството, тази теорема се оказва много удобна за намиране на границите на много... ... Wikipedia
Теорема, която дава оценка за плътността на сумата от две последователности. Нека A=(0, a 1, a.2,..., a i, ...) е нарастваща последователност от цели числа и плътността на последователността е Anaz. количеството е аритметичният сбор от две... ... Математическа енциклопедия
Пространството, спрегнато към пространството на основните (достатъчно добри) функции. Важна роля тук играят пространствата на Фреше (от тип FS) и силно спрегнати пространства (от тип DFS). Пространство от тип FS е проективната граница на компактен... ... Математическа енциклопедия
