Ще бъде ли линейно независима системата от вектори? Линейна зависимост на система от вектори. Колинеарни вектори

Позволявам Ле произволно линейно пространство, a аз Î л,- неговите елементи (вектори).

Определение 3.3.1.Изразяване , Където , - произволни реални числа, наречени линейна комбинация вектори a 1 , a 2 ,…, a н.

Ако векторът Р = , тогава те казват, че Р разложени на вектори a 1 , a 2 ,…, a н.

Определение 3.3.2.Линейна комбинация от вектори се нарича нетривиален, ако сред числата има поне едно различно от нула. В противен случай се нарича линейната комбинация тривиален.

Определение 3.3.3 . Вектори a 1 , a 2 ,…, a нсе наричат линейно зависими, ако съществува нетривиална линейна комбинация от тях, така че

= 0 .

Определение 3.3.4. Вектори a 1 ,a 2 ,…, a нсе наричат линейно независими, ако равенството = 0 е възможно само в случай, че всички числа л 1, л 2,…, л нса едновременно равни на нула.

Забележете, че всеки ненулев елемент a 1 може да се разглежда като линейно независима система, тъй като равенството л a 1 = 0 възможно само ако л= 0.

Теорема 3.3.1.Необходимо и достатъчно условие за линейната зависимост a 1 , a 2 ,…, a не възможността за разлагане на поне един от тези елементи на останалите.

Доказателство. Необходимост. Нека елементите a 1 , a 2 ,…, a нлинейно зависими. Означава, че = 0 , и поне едно от числата л 1, л 2,…, л нразличен от нула. Нека за сигурност л 1 ¹ 0. Тогава

т.е. елемент a 1 се разлага на елементи a 2 , a 3 , …, a н.

Адекватност. Нека елемент a 1 се разложи на елементи a 2 , a 3 , …, a н, т.е. a 1 = . Тогава = 0 , следователно има нетривиална линейна комбинация от вектори a 1 , a 2 ,…, a н, равен 0 , така че те са линейно зависими .

Теорема 3.3.2. Ако поне един от елементите a 1 , a 2 ,…, a ннула, тогава тези вектори са линейно зависими.

Доказателство . Позволявам а н= 0 , след това = 0 , което означава линейната зависимост на тези елементи.

Теорема 3.3.3. Ако сред n вектора има p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Доказателство. Нека за определеност елементите a 1 , a 2 ,…, a стрлинейно зависими. Това означава, че има нетривиална линейна комбинация, такава че = 0 . Посоченото равенство ще се запази, ако добавим елемента към двете му части. Тогава + = 0 , и поне едно от числата л 1, л 2,…, л.празличен от нула. Следователно векторите a 1 , a 2 ,…, a нса линейно зависими.

Следствие 3.3.1.Ако n елемента са линейно независими, тогава всеки k от тях е линейно независим (k< n).

Теорема 3.3.4. Ако векторите a 1 , a 2 ,…, a н- 1 са линейно независими, а елементите a 1 , a 2 ,…, a н- 1, а n са линейно зависими, тогава векторъта n може да се разшири във вектори a 1 , a 2 ,…, a н- 1 .

Доказателство.Тъй като по условие a 1 , a 2 ,…, а н- 1, а н са линейно зависими, тогава има нетривиална линейна комбинация от тях = 0 , и (в противен случай векторите a 1 , a 2 ,…, a ще се окажат линейно зависими н- 1). Но тогава векторът

Q.E.D.

Задача 1.Разберете дали системата от вектори е линейно независима. Системата от вектори ще бъде определена от матрицата на системата, чиито колони се състоят от координатите на векторите.

Решение.Нека линейната комбинация равно на нула. Записвайки това равенство в координати, получаваме следната система от уравнения:

Такава система от уравнения се нарича триъгълна. Тя има само едно решение . Следователно векторите линейно независими.

Задача 2.Разберете дали системата от вектори е линейно независима.

Решение.Вектори линейно независими (вижте задача 1). Нека докажем, че векторът е линейна комбинация от вектори . Коефициенти на векторно разширение се определят от системата от уравнения

Тази система, подобно на триъгълната, има уникално решение.

Следователно системата от вектори линейно зависими.

Коментирайте. Извикват се матрици от същия тип като в задача 1 триъгълна , а в задача 2 – стъпаловидно триъгълно . Въпросът за линейната зависимост на система от вектори се решава лесно, ако матрицата, съставена от координатите на тези вектори, е стъпаловидно триъгълна. Ако матрицата няма специална форма, тогава използвайте елементарни преобразувания на низове , запазвайки линейните връзки между колоните, тя може да бъде намалена до стъпаловидна триъгълна форма.

Елементарни преобразувания на низовематрици (EPS) следните операции върху матрица се наричат:

1) пренареждане на низове;

2) умножаване на низ с различно от нула число;

3) добавяне на друг низ към низ, умножен по произволно число.

Задача 3.Намерете максималната линейно независима подсистема и изчислете ранга на системата от вектори

Решение.Нека намалим матрицата на системата, използваща EPS, до стъпаловидна триъгълна форма. За да обясним процедурата, обозначаваме реда с номера на матрицата, която трябва да се преобразува, със символа . Колоната след стрелката показва действията върху редовете на преобразуваната матрица, които трябва да бъдат извършени, за да се получат редовете на новата матрица.

Очевидно първите две колони на получената матрица са линейно независими, третата колона е тяхната линейна комбинация, а четвъртата не зависи от първите две. Вектори се наричат основни. Те образуват максимална линейно независима подсистема на системата , а рангът на системата е три.

Основа, координати

Задача 4.Намерете основата и координатите на векторите в тази основа върху набора от геометрични вектори, чиито координати отговарят на условието .

Решение. Множеството е равнина, минаваща през началото. Произволен базис на равнина се състои от два неколинеарни вектора. Координатите на векторите в избрания базис се определят чрез решаване на съответната система от линейни уравнения.

Има друг начин за решаване на този проблем, когато можете да намерите основата с помощта на координатите.

Координати пространствата не са координати в равнината, тъй като са свързани с релацията , тоест не са независими. Независимите променливи и (те се наричат свободни) уникално дефинират вектор в равнината и следователно могат да бъдат избрани като координати в . След това основата се състои от вектори, лежащи в и съответстващи на набори от свободни променливи И , това е .

Задача 5.Намерете основата и координатите на векторите в тази база върху множеството от всички вектори в пространството, чиито нечетни координати са равни една на друга.

Решение. Нека изберем, както в предишната задача, координати в пространството.

защото , след това безплатни променливи еднозначно определят вектора от и следователно са координати. Съответният базис се състои от вектори.

Задача 6.Намерете основата и координатите на векторите в тази основа върху множеството от всички матрици на формата , Където – произволни числа.

Решение. Всяка матрица от е уникално представима във формата:

Тази връзка е разширение на вектора от по отношение на основата
с координати .

Задача 7.Намерете размерността и основата на линейната обвивка на система от вектори

Решение.Използвайки EPS, ние трансформираме матрицата от координатите на системните вектори в стъпаловидна триъгълна форма.

Колони последните матрици са линейно независими, а колоните линейно изразено чрез тях. Следователно векторите образуват основа , И .

Коментирайте. Основа в е избран двусмислено. Например вектори също формират основа .

а 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, а 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, а 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Решение.Търсим общо решение на системата от уравнения

а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 = Θ

Метод на Гаус. За да направим това, записваме тази хомогенна система в координати:

Системна матрица

Разрешената система има формата: (r A = 2, н= 3). Системата е кооперативна и несигурна. Неговото общо решение ( х 2 – свободна променлива): х 3 = 13х 2 ; 3х 1 – 2х 2 – 13х 2 = 0 => х 1 = 5х 2 => хо = . Наличието на ненулево конкретно решение, например, показва, че векторите а 1 , а 2 , а 3 линейно зависими.

Пример 2.

Разберете дали дадена система от вектори е линейно зависима или линейно независима:

1. а 1 = { -20, -15, - 4 }, а 2 = { –7, -2, -4 }, а 3 = { 3, –1, –2 }.

Решение.Да разгледаме хомогенна система от уравнения а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 = Θ

или в разширен вид (по координати)

Системата е хомогенна. Ако не е изродено, то има уникално решение. В случай на хомогенна система има нулево (тривиално) решение. Това означава, че в този случай системата от вектори е независима. Ако системата е изродена, тогава тя има ненулеви решения и следователно е зависима.

Проверяваме системата за израждане:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Системата е неизродена и следователно векторите а 1 , а 2 , а 3 линейно независими.

Задачи.Разберете дали дадена система от вектори е линейно зависима или линейно независима:

1. а 1 = { -4, 2, 8 }, а 2 = { 14, -7, -28 }.

2. а 1 = { 2, -1, 3, 5 }, а 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. а 1 = { -7, 5, 19 }, а 2 = { -5, 7 , -7 }, а 3 = { -8, 7, 14 }.

4. а 1 = { 1, 2, -2 }, а 2 = { 0, -1, 4 }, а 3 = { 2, -3, 3 }.

5. а 1 = { 1, 8 , -1 }, а 2 = { -2, 3, 3 }, а 3 = { 4, -11, 9 }.

6. а 1 = { 1, 2 , 3 }, а 2 = { 2, -1 , 1 }, а 3 = { 1, 3, 4 }.

7. а 1 = {0, 1, 1 , 0}, а 2 = {1, 1 , 3, 1}, а 3 = {1, 3, 5, 1}, а 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. а 1 = {-1, 7, 1 , -2}, а 2 = {2, 3 , 2, 1}, а 3 = {4, 4, 4, -3}, а 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Докажете, че система от вектори ще бъде линейно зависима, ако съдържа:

а) два равни вектора;

б) два пропорционални вектора.

В тази статия ще разгледаме:

какво представляват колинеарните вектори;
какви са условията за колинеарност на векторите;
какви свойства съществуват на колинеарните вектори;
каква е линейната зависимост на колинеарните вектори.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Колинеарните вектори са вектори, които са успоредни на една права или лежат на една права.

Пример 1

Условия за колинеарност на вектори

Два вектора са колинеарни, ако някое от следните условия е вярно:

състояние 1 . Векторите a и b са колинеарни, ако има число λ такова, че a = λ b;
условие 2 . Векторите a и b са колинеарни с еднакви координатни съотношения:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

състояние 3 . Векторите a и b са колинеарни, при условие че кръстосаното произведение и нулевият вектор са равни:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Бележка 1

Условие 2 не е приложимо, ако една от векторните координати е нула.

Бележка 2

Условие 3 се отнася само за онези вектори, които са посочени в пространството.

Примери за задачи за изследване на колинеарността на вектори

Пример 1

Проверяваме векторите a = (1; 3) и b = (2; 1) за колинеарност.

Как да решим?

В този случай е необходимо да се използва второто условие за колинеарност. За дадени вектори изглежда така:

Равенството е невярно. От това можем да заключим, че векторите a и b не са колинеарни.

Отговор : a | | b

Пример 2

Каква стойност m на вектора a = (1; 2) и b = (- 1; m) е необходима, за да бъдат векторите колинеарни?

Как да решим?

Използвайки второто условие за колинеарност, векторите ще бъдат колинеарни, ако техните координати са пропорционални:

Това показва, че m = - 2.

Отговор: m = - 2 .

Критерии за линейна зависимост и линейна независимост на векторни системи

Теорема

Система от вектори във векторно пространство е линейно зависима само ако един от векторите на системата може да бъде изразен чрез останалите вектори на тази система.

Доказателство

Нека системата e 1 , e 2 , . . . , e n е линейно зависим. Нека запишем линейна комбинация от тази система, равна на нулевия вектор:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

при което поне един от комбинираните коефициенти не е равен на нула.

Нека a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , н.

Разделяме двете страни на равенството на ненулев коефициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Да обозначим:

A k - 1 a m , където m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В такъв случай:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

От това следва, че един от векторите на системата се изразява чрез всички останали вектори на системата. Което трябваше да се докаже (и т.н.).

Адекватност

Нека един от векторите е линейно изразен през всички останали вектори на системата:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Преместваме вектора e k в дясната страна на това равенство:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Тъй като коефициентът на вектора e k е равен на - 1 ≠ 0, получаваме нетривиално представяне на нула чрез система от вектори e 1, e 2, . . . , e n , а това от своя страна означава, че тази система от вектори е линейно зависима. Което трябваше да се докаже (и т.н.).

Последица:

Система от вектори е линейно независима, когато никой от нейните вектори не може да бъде изразен чрез всички други вектори на системата.
Система от вектори, която съдържа нулев вектор или два равни вектора, е линейно зависима.

Свойства на линейно зависимите вектори

За 2- и 3-мерни вектори е изпълнено следното условие: два линейно зависими вектора са колинеарни. Два колинеарни вектора са линейно зависими.
За 3-мерни вектори е изпълнено следното условие: три линейно зависими вектора са копланарни. (3 копланарни вектора са линейно зависими).
За n-мерните вектори е изпълнено следното условие: n + 1 вектора са винаги линейно зависими.

Примери за решаване на задачи, включващи линейна зависимост или линейна независимост на вектори

Пример 3

Нека проверим векторите a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 за линейна независимост.

Решение. Векторите са линейно зависими, тъй като размерът на векторите е по-малък от броя на векторите.

Пример 4

Нека проверим векторите a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 за линейна независимост.

Решение. Намираме стойностите на коефициентите, при които линейната комбинация ще бъде равна на нулевия вектор:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записваме векторното уравнение в линейна форма:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ние решаваме тази система, използвайки метода на Гаус:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

От 2-ри ред изваждаме 1-ви, от 3-ти - 1-ви:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

От 1-ви ред изваждаме 2-ри, към 3-ти добавяме 2-ри:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

От решението следва, че системата има много решения. Това означава, че има ненулева комбинация от стойности на такива числа x 1, x 2, x 3, за които линейната комбинация от a, b, c е равна на нулевия вектор. Следователно векторите a, b, c са линейно зависими.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Вектори, техните свойства и действия с тях

Вектори, действия с вектори, линейно векторно пространство.

Векторите са подредена колекция от краен брой реални числа.

Действия: 1. Умножаване на вектор по число: ламбда*вектор x=(ламбда*x 1, ламбда*x 2 ... ламбда*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Събиране на вектори (принадлежат към едно и също векторно пространство) вектор x + вектор y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n-мерен (линейно пространство) вектор x + вектор 0 = вектор x

Теорема. За да бъде линейно зависима система от n вектора, n-мерно линейно пространство, е необходимо и достатъчно един от векторите да бъде линейна комбинация от останалите.

Теорема. Всеки набор от n+ първи вектори на n-мерно линейно пространство от явления. линейно зависими.

Събиране на вектори, умножение на вектори с числа. Изваждане на вектори.

Сумата от два вектора е вектор, насочен от началото на вектора към края на вектора, при условие че началото съвпада с края на вектора. Ако векторите са дадени чрез техните разширения в базисни единични вектори, тогава при добавяне на вектори се добавят съответните им координати.

Нека разгледаме това на примера на декартова координатна система. Позволявам

Нека да покажем това

От фигура 3 става ясно, че

Сумата от всеки краен брой вектори може да се намери с помощта на правилото на многоъгълника (фиг. 4): за да се конструира сумата от краен брой вектори, достатъчно е да се комбинира началото на всеки следващ вектор с края на предишния и конструирайте вектор, свързващ началото на първия вектор с края на последния.

Свойства на операцията за събиране на вектори:

В тези изрази m, n са числа.

Разликата между векторите се нарича вектор. Вторият член е вектор, противоположен на вектора по посока, но равен на него по дължина.

Така операцията за изваждане на вектори се заменя с операция за събиране

Вектор, чието начало е в началото и краят в точка A (x1, y1, z1), се нарича радиус вектор на точка A и се означава просто. Тъй като неговите координати съвпадат с координатите на точка А, неговото разлагане в единични вектори има формата

Вектор, който започва в точка A(x1, y1, z1) и завършва в точка B(x2, y2, z2), може да бъде написан като

където r 2 е радиус векторът на точка B; r 1 - радиус вектор на точка А.

Следователно, разширяването на вектора в единични вектори има формата

Дължината му е равна на разстоянието между точките А и В

УМНОЖЕНИЕ

Така че в случай на равнинна задача, произведението на вектор от a = (ax; ay) от числото b се намира по формулата

a b = (ax b; ay b)

Пример 1. Намерете произведението на вектора a = (1; 2) по 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

И така, в случай на пространствена задача, произведението на вектора a = (ax; ay; az) от числото b се намира по формулата

a b = (ax b; ay b; az b)

Пример 1. Намерете произведението на вектора a = (1; 2; -5) по 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Точково произведение на вектори и където е ъгълът между векторите и ; ако и двете, тогава

От дефиницията на скаларното произведение следва, че

където, например, е големината на проекцията на вектора върху посоката на вектора.

Скаларен квадратен вектор:

Свойства на точковия продукт:

Точково произведение в координати

Ако Че

Ъгъл между векторите

Ъгъл между векторите - ъгълът между посоките на тези вектори (най-малък ъгъл).

Кръстосано произведение (Кръстосано произведение на два вектора.) -това е псевдовектор, перпендикулярен на равнина, конструиран от два фактора, който е резултат от двоичната операция „векторно умножение“ върху вектори в триизмерното евклидово пространство. Продуктът не е нито комутативен, нито асоциативен (той е антикомутативен) и е различен от точковия продукт на векторите. В много инженерни и физични задачи трябва да можете да конструирате вектор, перпендикулярен на два съществуващи - векторното произведение предоставя тази възможност. Кръстосаното произведение е полезно за "измерване" на перпендикулярността на векторите - дължината на кръстосаното произведение на два вектора е равна на произведението на техните дължини, ако са перпендикулярни, и намалява до нула, ако векторите са успоредни или антипаралелни.

Кръстосаното произведение се дефинира само в тримерни и седеммерни пространства. Резултатът от векторно произведение, подобно на скаларно произведение, зависи от метриката на евклидовото пространство.

За разлика от формулата за изчисляване на вектори на скаларно произведение от координати в тримерна правоъгълна координатна система, формулата за кръстосаното произведение зависи от ориентацията на правоъгълната координатна система или, с други думи, нейната „хиралност“

Колинеарност на вектори.

Два ненулеви (не равни на 0) вектора се наричат колинеарни, ако лежат на успоредни прави или на една права. Приемлив, но непрепоръчителен синоним са „паралелни“ вектори. Колинеарните вектори могат да бъдат еднакво насочени („сънасочени“) или противоположно насочени (във последния случай понякога се наричат „антиколинеарни“ или „антипаралелни“).

Смесено произведение на вектори ( а, б, в)- скаларно произведение на вектор a и векторно произведение на вектори b и c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

понякога се нарича троен точков продукт на вектори, очевидно защото резултатът е скаларен (по-точно, псевдоскаларен).

Геометрично значение: Модулът на смесения продукт е числено равен на обема на паралелепипеда, образуван от векторите (a,b,c) .

Имоти

Смесеният продукт е косо симетричен по отношение на всички свои аргументи: т.е. д. пренареждането на всеки два фактора променя знака на произведението. От това следва, че смесеното произведение в дясната декартова координатна система (в ортонормална база) е равно на детерминантата на матрица, съставена от вектори и:

Смесеният продукт в лявата декартова координатна система (в ортонормална основа) е равен на детерминантата на матрицата, съставена от вектори и взета със знак минус:

В частност,

Ако всеки два вектора са успоредни, тогава с всеки трети вектор те образуват смесен продукт, равен на нула.

Ако три вектора са линейно зависими (т.е. компланарни, лежащи в една и съща равнина), тогава тяхното смесено произведение е равно на нула.

Геометрично значение - Смесеното произведение е равно по абсолютна стойност на обема на паралелепипеда (виж фигурата), образуван от векторите и; знакът зависи от това дали тази тройка вектори е дясна или лява.

Копланарност на вектори.

Три вектора (или по-голям брой) се наричат копланарни, ако те, сведени до общ произход, лежат в една и съща равнина

Свойства на копланарност

Ако поне един от трите вектора е нула, тогава трите вектора също се считат за компланарни.

Тройка от вектори, съдържаща двойка колинеарни вектори, е компланарна.

Смесено произведение на копланарни вектори. Това е критерий за копланарност на три вектора.

Копланарните вектори са линейно зависими. Това също е критерий за копланарност.

В тримерното пространство 3 некомпланарни вектора образуват основа

Линейно зависими и линейно независими вектори.

Линейно зависими и независими векторни системи.Определение. Векторната система се нарича линейно зависими, ако има поне една нетривиална линейна комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор. В противен случай, т.е. ако само тривиална линейна комбинация от дадени вектори е равна на нулевия вектор, векторите се извикват линейно независими.

Теорема (критерий за линейна зависимост). За да бъде линейно зависима система от вектори в линейно пространство, е необходимо и достатъчно поне един от тези вектори да е линейна комбинация от останалите.

1) Ако сред векторите има поне един нулев вектор, тогава цялата система от вектори е линейно зависима.

Всъщност, ако, например, , тогава, ако приемем, имаме нетривиална линейна комбинация .▲

2) Ако сред векторите някои образуват линейно зависима система, то цялата система е линейно зависима.

Наистина, нека векторите , , са линейно зависими. Това означава, че има нетривиална линейна комбинация, равна на нулевия вектор. Но тогава, ако приемем , ние също получаваме нетривиална линейна комбинация, равна на нулевия вектор.

2. Основание и измерение. Определение. Система от линейно независими вектори векторно пространство се нарича базаот това пространство, ако всеки вектор от може да бъде представен като линейна комбинация от вектори на тази система, т.е. за всеки вектор има реални числа такова, че равенството е в сила Това равенство се нарича векторно разлаганеспоред основата и числата са наречени координати на вектора спрямо основата(или в основата) .

Теорема (за уникалността на разширението по отношение на основата). Всеки вектор в пространството може да бъде разширен в базис по единствения начин, т.е. координати на всеки вектор в основата се определят еднозначно.